(1) $\triangle ABC$ において、$AB = 2, AC = 3$ であり、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$BD:DC$ を求める。 (2) $\triangle ABC$ において、$AB = 10, BC = 12, CA = 8$ であり、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$BD$ を求める。 (3) $\triangle ABC$ の外接円が、点 $A$ で直線 $TT'$ に接している。$\angle TAC = 55^\circ$ であるとき、$\angle ABC$ を求める。 (4) $\triangle ABC$ の外接円が、点 $A$ で直線 $TT'$ に接している。$\angle BAC = 75^\circ, \angle T'AB = 50^\circ$ であるとき、$\angle ABC$ を求める。 (5) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、2つの弦 $AB, CD$ の交点を $P$ とする。$PA = 4, PB = 5$ であるとき、$PC \cdot PD$ を求める。 (6) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、2つの弦 $AB, CD$ の交点を $P$ とする。$PA = \sqrt{3}, PC = 3, PD = 4$ であるとき、$PB$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $\triangle ABC$ において、$AB = 2, AC = 3$ であり、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$BD:DC$ を求める。

(2) $\triangle ABC$ において、$AB = 10, BC = 12, CA = 8$ であり、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$BD$ を求める。

(3) $\triangle ABC$ の外接円が、点 $A$ で直線 $TT'$ に接している。$\angle TAC = 55^\circ$ であるとき、$\angle ABC$ を求める。

(4) $\triangle ABC$ の外接円が、点 $A$ で直線 $TT'$ に接している。$\angle BAC = 75^\circ, \angle T'AB = 50^\circ$ であるとき、$\angle ABC$ を求める。

(5) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、2つの弦 $AB, CD$ の交点を $P$ とする。$PA = 4, PB = 5$ であるとき、$PC \cdot PD$ を求める。

(6) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、2つの弦 $AB, CD$ の交点を $P$ とする。$PA = \sqrt{3}, PC = 3, PD = 4$ であるとき、$PB$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC$ であるから、$BD:DC = 2:3$。

(2) 角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 10:8 = 5:4$。

$BC = 12$ であるから、$BD = 12 \times \frac{5}{5+4} = 12 \times \frac{5}{9} = \frac{60}{9} = \frac{20}{3}$。

(3) 接弦定理より、$\angle ABC = \angle TAC = 55^\circ$。

(4) 接弦定理より、$\angle ACB = \angle T'AB = 50^\circ$。

$\angle BAC = 75^\circ$ であるから、$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 75^\circ - 50^\circ = 55^\circ$。

(5) 方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ であるから、$PC \cdot PD = 4 \times 5 = 20$。

(6) 方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ であるから、$\sqrt{3} \cdot PB = 3 \cdot 4 = 12$。

したがって、$PB = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $2:3$

(2) $\frac{20}{3}$

(3) $55^\circ$

(4) $55^\circ$

(5) $20$

(6) $4\sqrt{3}$