図の台形ABCDについて、辺ABの長さと面積Sを求める問題です。辺ADの長さは4、辺BCの長さは8、角Bは70°、角Cは57°です。

1. 問題の内容

図の台形ABCDについて、辺ABの長さと面積Sを求める問題です。辺ADの長さは4、辺BCの長さは8、角Bは70°、角Cは57°です。

2. 解き方の手順

まず、点Aから辺BCに垂線AEを下ろし、点Dから辺BCに垂線DFを下ろします。

台形ABCDの高さはAE = DFです。

三角形ABEにおいて、$BE = AB \cdot \cos{70^\circ}$、$AE = AB \cdot \sin{70^\circ}$が成り立ちます。

三角形DCFにおいて、$CF = CD \cdot \cos{57^\circ}$、$DF = DC \cdot \sin{57^\circ}$が成り立ちます。

ここで、$BC = BE + EF + FC$です。$EF = AD = 4$なので、$BE + FC = 8 - 4 = 4$となります。

$AB \cdot \cos{70^\circ} + DC \cdot \cos{57^\circ} = 4$　...(1)

$AB \cdot \sin{70^\circ} = DC \cdot \sin{57^\circ}$　...(2)

(2)式より、$DC = AB \cdot \frac{\sin{70^\circ}}{\sin{57^\circ}}$

これを(1)に代入すると、

$AB \cdot \cos{70^\circ} + AB \cdot \frac{\sin{70^\circ}}{\sin{57^\circ}} \cdot \cos{57^\circ} = 4$

$AB (\cos{70^\circ} + \sin{70^\circ} \cdot \frac{\cos{57^\circ}}{\sin{57^\circ}}) = 4$

$AB (\cos{70^\circ} + \sin{70^\circ} \cot{57^\circ}) = 4$

$AB = \frac{4}{\cos{70^\circ} + \sin{70^\circ} \cot{57^\circ}}$

$AB \approx \frac{4}{0.342 + 0.940 \cdot 0.649} \approx \frac{4}{0.342 + 0.610} \approx \frac{4}{0.952} \approx 4.20$

$DC = AB \cdot \frac{\sin{70^\circ}}{\sin{57^\circ}} \approx 4.20 \cdot \frac{0.940}{0.839} \approx 4.20 \cdot 1.120 \approx 4.70$

高さは、$AE = AB \cdot \sin{70^\circ} \approx 4.20 \cdot 0.940 \approx 3.95$

面積$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot AE = \frac{4+8}{2} \cdot 3.95 = 6 \cdot 3.95 = 23.7$

3. 最終的な答え

ABの長さ: 約4.20

面積S: 約23.7