台形ABCDにおいて、AD // BCであり、ABの中点をEとする。EからBCに平行な直線をひき、BD、CDとの交点をそれぞれF, Gとする。AD = 4cm, BC = 10cmのとき、EFとEGの長さを求めよ。

幾何学台形平行線中点連結定理相似

2025/4/13

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、AD // BCであり、ABの中点をEとする。EからBCに平行な直線をひき、BD、CDとの交点をそれぞれF, Gとする。AD = 4cm, BC = 10cmのとき、EFとEGの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、EFの長さを求める。

EはABの中点であり、EF//BCであるから、三角形ABDにおいて、EFは中点連結定理よりBDの中点を結ぶ線分となる。したがって、AF = FDとなる。

三角形ABDにおいて、EFはADとBCに平行であるから、三角形BEFと三角形BADは相似である。したがって、EF/AD = BE/BA = 1/2となり、EF = (1/2)ADが成り立つ。

EF = (1/2) * 4 = 2cm

次に、EGの長さを求める。

EはABの中点であり、EG//BCであるから、三角形ABCにおいて、EGは中点連結定理よりACの中点を結ぶ線分となる。したがって、AG = GCとなる。

EGはBCに平行であるから、三角形AEGと三角形ABCは相似である。したがって、EG/BC = AE/AB = 1/2となり、EG = (1/2)BCが成り立つ。

EG = (1/2) * 10 = 5cm

3. 最終的な答え

EF = 2cm

EG = 5cm

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