xy平面上に2つの円 $C_1: x^2 + y^2 = 25$ と $C_2: (x-4)^2 + (y-3)^2 = 2$ がある。 (1) $C_1$ と $C_2$ の2つの交点を通る直線の方程式を求める。 (2) $C_1$ と $C_2$ の2つの交点を通り、点 (3, 1) を通る円の方程式を求める。

1. 問題の内容

xy平面上に2つの円 $C_1: x^2 + y^2 = 25$ と $C_2: (x-4)^2 + (y-3)^2 = 2$ がある。

(1) $C_1$ と $C_2$ の2つの交点を通る直線の方程式を求める。

(2) $C_1$ と $C_2$ の2つの交点を通り、点 (3, 1) を通る円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つの円 $C_1: x^2 + y^2 = 25$ と $C_2: (x-4)^2 + (y-3)^2 = 2$ の交点を通る直線の方程式は、

$x^2 + y^2 - 25 + k((x-4)^2 + (y-3)^2 - 2) = 0$

と表される。ここで $k = -1$ とすると、

$x^2 + y^2 - 25 - ((x-4)^2 + (y-3)^2 - 2) = 0$

$x^2 + y^2 - 25 - (x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 - 2) = 0$

$x^2 + y^2 - 25 - x^2 + 8x - 16 - y^2 + 6y - 9 + 2 = 0$

$8x + 6y - 48 = 0$

$4x + 3y - 24 = 0$

したがって、直線の方程式は $4x + 3y - 24 = 0$ である。

(2) 2つの円 $C_1: x^2 + y^2 = 25$ と $C_2: (x-4)^2 + (y-3)^2 = 2$ の交点を通る円の方程式は、

$x^2 + y^2 - 25 + k((x-4)^2 + (y-3)^2 - 2) = 0$

と表される。この円が点 (3, 1) を通るので、

$3^2 + 1^2 - 25 + k((3-4)^2 + (1-3)^2 - 2) = 0$

$9 + 1 - 25 + k(1 + 4 - 2) = 0$

$-15 + 3k = 0$

$3k = 15$

$k = 5$

したがって、円の方程式は

$x^2 + y^2 - 25 + 5((x-4)^2 + (y-3)^2 - 2) = 0$

$x^2 + y^2 - 25 + 5(x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 - 2) = 0$

$x^2 + y^2 - 25 + 5x^2 - 40x + 80 + 5y^2 - 30y + 45 - 10 = 0$

$6x^2 + 6y^2 - 40x - 30y + 90 = 0$

$3x^2 + 3y^2 - 20x - 15y + 45 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $4x + 3y - 24 = 0$

(2) $3x^2 + 3y^2 - 20x - 15y + 45 = 0$