二つの平面 $\alpha: x - y + 2z - 4 = 0$ と $\beta: 2x + y - z - 5 = 0$ の交線を含む平面で、点 $(4, 2, 3)$ を通る平面の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

二つの平面 $\alpha: x - y + 2z - 4 = 0$ と $\beta: 2x + y - z - 5 = 0$ の交線を含む平面で、点 $(4, 2, 3)$ を通る平面の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

平面 $\alpha$ と平面 $\beta$ の交線を含む平面の方程式は、実数 $k$ を用いて

$$x - y + 2z - 4 + k(2x + y - z - 5) = 0$$

と表すことができます。

これを整理すると

$$(1 + 2k)x + (-1 + k)y + (2 - k)z - 4 - 5k = 0$$

となります。

この平面が点 $(4, 2, 3)$ を通るので、

$$(1 + 2k)(4) + (-1 + k)(2) + (2 - k)(3) - 4 - 5k = 0$$

これを解くと

$$4 + 8k - 2 + 2k + 6 - 3k - 4 - 5k = 0$$

$$8k + 2k - 3k - 5k = -4 + 2 - 6 + 4$$

$$2k = -4$$

$$k = -2$$

これを平面の方程式に代入すると

$$(1 + 2(-2))x + (-1 + (-2))y + (2 - (-2))z - 4 - 5(-2) = 0$$

$$(1 - 4)x + (-1 - 2)y + (2 + 2)z - 4 + 10 = 0$$

$$-3x - 3y + 4z + 6 = 0$$

$$-3x - 3y + 4z + 6 = 0$$

符号を反転させると

$$3x + 3y - 4z - 6 = 0$$

したがって、平面の方程式は $3x + 3y - 4z - 6 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$3x + 3y - 4z - 6 = 0$