2つの円 $x^2+y^2+2x-2y-2=0$ (①) と $x^2+y^2-6x-8y+k=0$ (②) について、次のものを求める問題です。 (1) 2つの円①、②が異なる2つの共有点をもつような、定数 $k$ の値の範囲 (2) 2つの円①、②が外接するとき、$k$ の値と接点の座標

1. 問題の内容

2つの円 $x^2+y^2+2x-2y-2=0$ (①) と $x^2+y^2-6x-8y+k=0$ (②) について、次のものを求める問題です。

(1) 2つの円①、②が異なる2つの共有点をもつような、定数 $k$ の値の範囲

(2) 2つの円①、②が外接するとき、$k$ の値と接点の座標

2. 解き方の手順

(1)

まず、2つの円の方程式から $x^2$ と $y^2$ を消去します。具体的には、② - ① を計算します。

$(x^2+y^2-6x-8y+k) - (x^2+y^2+2x-2y-2) = 0$

$-8x -6y + k + 2 = 0$

$8x + 6y = k + 2$

$4x + 3y = \frac{k+2}{2}$

これは2つの円の交点を通る直線（共通弦）の方程式を表します。$y$ について解くと、$y = -\frac{4}{3}x + \frac{k+2}{6}$ となります。

円①の中心を $A$、半径を $r_1$ とすると、$A(-1, 1)$、 $r_1 = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 - (-2)} = \sqrt{4} = 2$ です。

円②の中心を $B$、半径を $r_2$ とすると、$B(3, 4)$、 $r_2 = \sqrt{3^2 + 4^2 - k} = \sqrt{25 - k}$ です。

2つの円が異なる2つの共有点を持つためには、2つの円の中心間の距離が、2つの円の半径の和より小さく、かつ差の絶対値より大きい必要があります。つまり、

$|r_1 - r_2| < AB < r_1 + r_2$

$AB = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (4-1)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

$|2 - \sqrt{25 - k}| < 5 < 2 + \sqrt{25 - k}$

まず $5 < 2 + \sqrt{25 - k}$ より、

$3 < \sqrt{25 - k}$

$9 < 25 - k$

$k < 16$

次に $|2 - \sqrt{25 - k}| < 5$ より、

$-5 < 2 - \sqrt{25 - k} < 5$

$-7 < - \sqrt{25 - k} < 3$

$-3 < \sqrt{25 - k} < 7$

$\sqrt{25-k}>-3$ は常に成り立つ。

$\sqrt{25 - k} < 7$

$25 - k < 49$

$-k < 24$

$k > -24$

また、半径が正である必要があるため、$25 - k > 0$ より $k < 25$。

したがって、$-24 < k < 16$ が答えです。

(2)

2つの円が外接するとき、$AB = r_1 + r_2$ が成り立ちます。

$5 = 2 + \sqrt{25 - k}$

$3 = \sqrt{25 - k}$

$9 = 25 - k$

$k = 16$

2つの円の中心を結ぶ直線の方程式を求めます。

傾きは $\frac{4-1}{3-(-1)} = \frac{3}{4}$。

直線は $y - 1 = \frac{3}{4}(x + 1)$ より、$y = \frac{3}{4}x + \frac{7}{4}$。

接点は中心間の線分を半径の比である $2 : 3$ に内分する点です。

接点の座標は $(\frac{2*3+3*(-1)}{2+3}, \frac{2*4+3*1}{2+3}) = (\frac{3}{5}, \frac{11}{5})$

3. 最終的な答え

(1) $-24 < k < 16$

(2) $k = 16$、接点の座標は $(\frac{3}{5}, \frac{11}{5})$