$\cos C = \frac{\sin A}{\sin B}$ を満たす三角形ABCにおいて、a, b, cと外接円の半径Rの関係式を求める問題です。

1. 問題の内容

$\cos C = \frac{\sin A}{\sin B}$ を満たす三角形ABCにおいて、a, b, cと外接円の半径Rの関係式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理と余弦定理を利用して、与えられた等式を変形していきます。

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R$

したがって、$\sin A = \frac{a}{2R}$、$\sin B = \frac{b}{2R}$となります。

余弦定理より、

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

与えられた等式に、正弦定理と余弦定理を代入すると、

$\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{\frac{a}{2R}}{\frac{b}{2R}}$

$\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{a}{b}$

$a^2 + b^2 - c^2 = 2a^2$

$b^2 - c^2 = a^2$

$a^2 + c^2 = b^2$

これは三平方の定理の形なので、三角形ABCは$B = 90^\circ$の直角三角形となります。

3. 最終的な答え

$a^2 + c^2 = b^2$

または、$\angle B = 90^\circ$