問題24は、与えられた命題「nが自然数のとき、n^2+1は偶数ならばnは奇数」が真であることを証明する問題です。また、√3が無理数であることを用いて、√3 - 1が無理数であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

問題24は、与えられた命題「nが自然数のとき、n^2+1は偶数ならばnは奇数」が真であることを証明する問題です。また、√3が無理数であることを用いて、√3 - 1が無理数であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた命題「nが自然数のとき、n^2+1は偶数ならばnは奇数」の対偶「nは偶数ならばn^2+1は奇数」を証明します。

nが偶数なので、$n = 2m$ （mは自然数）と表すことができます。

$n^2 + 1 = (2m)^2 + 1 = 4m^2 + 1 = 2(2m^2) + 1$

$2m^2$は自然数なので、$2(2m^2) + 1$は奇数です。したがって、対偶が真であることが証明されたので、もとの命題も真です。

(2) 背理法を用いて、√3 - 1が無理数であることを証明します。

√3 - 1 が無理数ではないと仮定します。このとき、√3 - 1 は有理数である。

$a = \sqrt{3} - 1$ とすると $\sqrt{3} = a + 1$

ここで、$a$, $1$ はともに有理数であるから、$a + 1$ も有理数である。よって、√3 も有理数となり、√3が有理数であることに矛盾する。

したがって、√3 - 1 が無理数ではないとした仮定が誤りで、√3 - 1 は無理数である。

3. 最終的な答え

(1) 対偶「nは偶数⇒ n^2+1は 奇数」

(2) √3が有理数であることに矛盾する。