自然数 $n$ について、命題「$3n$ は偶数ならば、$n$ は偶数である」が真であることを証明します。

## 問題57

1. 問題の内容

自然数 $n$ について、命題「$3n$ は偶数ならば、$n$ は偶数である」が真であることを証明します。

2. 解き方の手順

この命題を直接証明するのは難しいので、対偶を証明します。

元の命題の対偶は「$n$ が奇数ならば、$3n$ は奇数である」となります。

$n$ が奇数であると仮定すると、$n = 2k + 1$ ( $k$ は整数) と表せます。

このとき、$3n$ は次のようになります。

$3n = 3(2k + 1) = 6k + 3 = 2(3k + 1) + 1$

ここで、$3k + 1$ は整数なので、$3n$ は奇数であることがわかります。

したがって、$n$ が奇数ならば、$3n$ は奇数であるという対偶が証明されました。

対偶が真であることから、元の命題「$3n$ は偶数ならば、$n$ は偶数である」も真であることが証明されました。

3. 最終的な答え

「$3n$ は偶数ならば、$n$ は偶数である」は真である。

## 問題58

1. 問題の内容

$\sqrt{5}$ が無理数であることを用いて、$1 + 2\sqrt{5}$ が無理数であることを背理法で証明します。

2. 解き方の手順

背理法を用いるので、$1 + 2\sqrt{5}$ が有理数であると仮定します。

このとき、$1 + 2\sqrt{5} = r$ ($r$ は有理数) と表せます。

この式を変形して $\sqrt{5}$ について解くと、

$2\sqrt{5} = r - 1$

$\sqrt{5} = \frac{r - 1}{2}$

$r$ は有理数なので、$r - 1$ も有理数です。また、有理数を2で割った数も有理数なので、$\frac{r - 1}{2}$ は有理数となります。

したがって、$\sqrt{5}$ は有理数であるということになります。

しかし、これは $\sqrt{5}$ が無理数であるという仮定に矛盾します。

よって、$1 + 2\sqrt{5}$ が有理数であるという仮定が誤りであることが示されました。

したがって、$1 + 2\sqrt{5}$ は無理数です。

3. 最終的な答え

$1 + 2\sqrt{5}$ は無理数である。