円に内接する四角形 $ABCD$ において、$AB = 5$, $BC = 1$, $CD = 4$, $\angle ABC = 60^\circ$ のとき、四角形 $ABCD$ の面積 $S$ を求め、 $S = \frac{ア\sqrt{イ}}{ウ}$ の形で表すとき、ア、イ、ウに入る数字を求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形 $ABCD$ において、$AB = 5$, $BC = 1$, $CD = 4$, $\angle ABC = 60^\circ$ のとき、四角形 $ABCD$ の面積 $S$ を求め、

$S = \frac{ア\sqrt{イ}}{ウ}$ の形で表すとき、ア、イ、ウに入る数字を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、四角形 $ABCD$ は円に内接するので、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ となります。

次に、三角形 $ABC$ に対して余弦定理を用いると、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC} = 5^2 + 1^2 - 2 \cdot 5 \cdot 1 \cdot \cos{60^\circ} = 25 + 1 - 10 \cdot \frac{1}{2} = 26 - 5 = 21$

より、$AC = \sqrt{21}$ となります。

次に、三角形 $ADC$ に対して余弦定理を用いると、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{\angle ADC} = AD^2 + 4^2 - 2 \cdot AD \cdot 4 \cdot \cos{120^\circ}$

$21 = AD^2 + 16 - 8 \cdot AD \cdot (-\frac{1}{2}) = AD^2 + 16 + 4 \cdot AD$

$AD^2 + 4 \cdot AD - 5 = 0$

$(AD + 5)(AD - 1) = 0$

$AD > 0$ より、$AD = 1$ となります。

三角形 $ABC$ の面積は、

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 1 \cdot \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{4}$

三角形 $ADC$ の面積は、

$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin{\angle ADC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 \cdot \sin{120^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

したがって、四角形 $ABCD$ の面積は、

$S = S_{ABC} + S_{ADC} = \frac{5\sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

ア = 9

イ = 3

ウ = 4

よって $S = \frac{9\sqrt{3}}{4}$