三角形ABCにおいて、辺ABを3:2に内分する点をD、辺ACの中点をEとする。線分BEと線分CDの交点をFとする。$\overrightarrow{AB} = \vec{b}, \overrightarrow{AC} = \vec{c}$とするとき、$\overrightarrow{AF}$を$\vec{b}$と$\vec{c}$を用いて表し、さらに辺BCと直線AFの交点をGとするとき、$\frac{BG}{GC}$の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを3:2に内分する点をD、辺ACの中点をEとする。線分BEと線分CDの交点をFとする。$\overrightarrow{AB} = \vec{b}, \overrightarrow{AC} = \vec{c}$とするとき、$\overrightarrow{AF}$を$\vec{b}$と$\vec{c}$を用いて表し、さらに辺BCと直線AFの交点をGとするとき、$\frac{BG}{GC}$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、点Fが線分BEと線分CDの交点であることから、実数$s, t$を用いて、

$\overrightarrow{AF} = (1-s)\overrightarrow{AE} + s\overrightarrow{AB} = (1-t)\overrightarrow{AD} + t\overrightarrow{AC}$

と表せる。ここで、

$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\vec{c}$

$\overrightarrow{AD} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} = \frac{3}{5}\vec{b}$

であるから、

$\overrightarrow{AF} = (1-s)\frac{1}{2}\vec{c} + s\vec{b} = (1-t)\frac{3}{5}\vec{b} + t\vec{c}$

$\vec{b}$と$\vec{c}$は一次独立であるから、

$s = \frac{3}{5}(1-t)$

$\frac{1}{2}(1-s) = t$

これを解くと、

$s = \frac{3}{7}, t = \frac{2}{7}$

したがって、

$\overrightarrow{AF} = \frac{3}{7}\vec{b} + \frac{2}{7}\vec{c}$

次に、点Gが辺BC上にあることから、実数$k$を用いて、

$\overrightarrow{AG} = l\overrightarrow{AF}$

$\overrightarrow{AG} = (1-k)\overrightarrow{AB} + k\overrightarrow{AC} = (1-k)\vec{b} + k\vec{c}$

と表せる。

$\overrightarrow{AF} = \frac{3}{7}\vec{b} + \frac{2}{7}\vec{c}$なので、

$\overrightarrow{AG} = l(\frac{3}{7}\vec{b} + \frac{2}{7}\vec{c}) = \frac{3l}{7}\vec{b} + \frac{2l}{7}\vec{c}$

$\vec{b}$と$\vec{c}$は一次独立であるから、

$\frac{3l}{7} = 1-k$

$\frac{2l}{7} = k$

これを解くと、

$\frac{3l}{7} + \frac{2l}{7} = 1-k+k = 1$

$\frac{5l}{7} = 1$

$l = \frac{7}{5}$

$k = \frac{2}{7}l = \frac{2}{7}\times \frac{7}{5} = \frac{2}{5}$

$\overrightarrow{AG} = (1-k)\vec{b} + k\vec{c} = \frac{3}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$

$\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AB} = \frac{3}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c} - \vec{b} = -\frac{2}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c} = \frac{2}{5}(\vec{c} - \vec{b}) = \frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AG} = \vec{c} - (\frac{3}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}) = -\frac{3}{5}\vec{b} + \frac{3}{5}\vec{c} = \frac{3}{5}(\vec{c} - \vec{b}) = \frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$

したがって、

$\frac{BG}{GC} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AF} = \frac{3}{7}\vec{b} + \frac{2}{7}\vec{c}$

$\frac{BG}{GC} = \frac{2}{3}$