一辺の長さが6の正四面体OABCにおいて、辺ABの中点をMとする。頂点OからCMに下ろした垂線をOHとする時、OHの長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが6の正四面体OABCにおいて、辺ABの中点をMとする。頂点OからCMに下ろした垂線をOHとする時、OHの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、三角形ABCにおいて、CMの長さを求める。MはABの中点なので、AM = MB = 3。三角形ABCは正三角形なので、CMはCからABに下ろした垂線である。したがって、三角形AMCは直角三角形である。三平方の定理より、

$CM^2 + AM^2 = AC^2$

$CM^2 + 3^2 = 6^2$

$CM^2 = 36 - 9 = 27$

$CM = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

(2) 次に、三角形OCMにおいて、面積を考える。

$\triangle OCM = \frac{1}{2} \times CM \times OH = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{3} \times OH$

(3) 一方で、OMの長さを求める。三角形OABも正三角形なので、OMはOからABに下ろした垂線である。したがって、OM = $3\sqrt{3}$である。

(4) OCMの面積を別の方法で求める。三角形OCMの3辺の長さはOC=6, CM=$3\sqrt{3}$, OM=$3\sqrt{3}$である。ここで、ヘロンの公式を用いる。

$s = \frac{6+3\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{2} = 3 + 3\sqrt{3}$

$\triangle OCM = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(3+3\sqrt{3})(3+3\sqrt{3}-6)(3+3\sqrt{3}-3\sqrt{3})(3+3\sqrt{3}-3\sqrt{3})} = \sqrt{(3+3\sqrt{3})(-3+3\sqrt{3})(3)(3)} = \sqrt{9(27-9)} = \sqrt{9(18)} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}$

(5) (2)と(4)より、

$\frac{1}{2} \times 3\sqrt{3} \times OH = 9\sqrt{2}$

$OH = \frac{18\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$OH = 2\sqrt{6}$