問題7-1の各小問は、与えられた条件から直線のベクトル方程式を求める問題である。 問題7-2は、点Cを通り、ベクトルABに平行な直線のベクトル方程式を求める問題である。

1. 問題の内容

問題7-1の各小問は、与えられた条件から直線のベクトル方程式を求める問題である。

問題7-2は、点Cを通り、ベクトルABに平行な直線のベクトル方程式を求める問題である。

2. 解き方の手順

問題7-1

(1) 与えられた直線の式 $x = \frac{y-1}{3} = \frac{z+1}{-2}$ をベクトル表示する。

まず、媒介変数 $t$ を用いて $x = t$ とすると、$y = 3t + 1$, $z = -2t - 1$ となる。

したがって、ベクトル表示は次のようになる。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$

(2) 与えられたベクトル方程式 $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ の方程式を求める。

$x = 2$, $y = -3t$, $z = -1 + t$

$x = 2$ より、$x$ は定数。

$t = -\frac{y}{3}$を $z = -1 + t$に代入すると $z = -1 -\frac{y}{3}$

よって、$x=2, z = -1 - \frac{y}{3}$。整理すると、$x=2, y = -3z - 3$。

あるいは、$x=2$, $\frac{y}{(-3)} = \frac{z+1}{1}$

(3) 直線 $l: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ に平行で、点 $(-1, 2, 1)$ を通る直線のベクトル方程式を求める。

求める直線は、点 $(-1, 2, 1)$ を通り、方向ベクトルが $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ であるから、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

(4) 2点 A$(-1, 2, 1)$, B$(1, 0, 4)$ を通る直線 $l$ の方程式を求める。

方向ベクトルは $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 - (-1) \\ 0 - 2 \\ 4 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$

点Aを通り、方向ベクトル$\vec{AB}$を持つので、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$

もしくは

$\frac{x+1}{2} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-1}{3}$

問題7-2

(1) A$(1, -1, 2)$, B$(0, 1, 3)$, C$(1, 1, 1)$ とするとき、Cを通り $\vec{AB}$ に平行な直線 $l$ の方程式を求める。

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 0 - 1 \\ 1 - (-1) \\ 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

点Cを通り、方向ベクトル$\vec{AB}$を持つので、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

もしくは

$\frac{x-1}{-1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{1}$

3. 最終的な答え

問題7-1

(1) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$

(2) $x=2$, $y = -3z - 3$ (または $x=2$, $\frac{y}{(-3)} = \frac{z+1}{1}$)

(3) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ (または $\frac{x+1}{2} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-1}{3}$)

問題7-2

(1) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ (または $\frac{x-1}{-1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{1}$)