問題は5つの小問から構成されています。 (1) 水槽に水を注ぐ問題で、$x$分後の水量を$y$としたときの$x$と$y$の関係式を求める問題です。 (2) 2直線の交点の座標を求める問題です。 (3) 2直線の交点の座標を求める問題です。 (4) 関数 $y = -x^2$ において、$x$の変域が $-2 \le x \le 1$ のときの $y$ の変域を求める問題です。 (5) 関数 $y = \frac{2}{3}x^2$ において、$x$ の変域が $-3 \le x \le \sqrt{3}$ のときの $y$ の変域を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は5つの小問から構成されています。

(1) 水槽に水を注ぐ問題で、$x$分後の水量を$y$としたときの$x$と$y$の関係式を求める問題です。

(2) 2直線の交点の座標を求める問題です。

(3) 2直線の交点の座標を求める問題です。

(4) 関数 $y = -x^2$ において、$x$の変域が $-2 \le x \le 1$ のときの $y$ の変域を求める問題です。

(5) 関数 $y = \frac{2}{3}x^2$ において、$x$ の変域が $-3 \le x \le \sqrt{3}$ のときの $y$ の変域を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

初期状態の水量が2Lで、7分間に3Lずつ水を入れるので、1分間あたり$\frac{3}{7}$Lずつ水が入ります。したがって、$x$分後の水量は、$2 + \frac{3}{7}x$となります。

よって、$y = \frac{3}{7}x + 2$

(2)

2直線の交点の座標は、連立方程式

$y = -5x + 3$

$y = 2x - 4$

を解くことで求められます。

$-5x + 3 = 2x - 4$

$7x = 7$

$x = 1$

$y = 2(1) - 4 = -2$

したがって、交点の座標は $(1, -2)$ です。

(3)

2直線の交点の座標は、連立方程式

$y = 3x - 10$

$y = -\frac{1}{3}x + 10$

を解くことで求められます。

$3x - 10 = -\frac{1}{3}x + 10$

$9x - 30 = -x + 30$

$10x = 60$

$x = 6$

$y = 3(6) - 10 = 8$

したがって、交点の座標は $(6, 8)$ です。

(4)

関数 $y = -x^2$ は上に凸な放物線です。$x$ の変域が $-2 \le x \le 1$ のとき、

$x = -2$ のとき $y = -(-2)^2 = -4$

$x = 1$ のとき $y = -(1)^2 = -1$

$x = 0$ のとき $y = 0$

したがって、$y$ の変域は $-4 \le y \le 0$ です。

(5)

関数 $y = \frac{2}{3}x^2$ は下に凸な放物線です。$x$ の変域が $-3 \le x \le \sqrt{3}$ のとき、

$x = -3$ のとき $y = \frac{2}{3}(-3)^2 = \frac{2}{3}(9) = 6$

$x = \sqrt{3}$ のとき $y = \frac{2}{3}(\sqrt{3})^2 = \frac{2}{3}(3) = 2$

$x = 0$ のとき $y = 0$

したがって、$y$ の変域は $0 \le y \le 6$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{3}{7}x + 2$

(2) $(1, -2)$

(3) $(6, 8)$

(4) $-4 \le y \le 0$

(5) $0 \le y \le 6$