$n = \frac{abc+abd+acd+bcd-1}{abcd}$ が整数となるような自然数 $a \ge b \ge c \ge d > 1$ の組 $(a, b, c, d)$ をすべて求め、そのときの $n$ の値をすべて答える。

1. 問題の内容

$n = \frac{abc+abd+acd+bcd-1}{abcd}$ が整数となるような自然数 $a \ge b \ge c \ge d > 1$ の組 $(a, b, c, d)$ をすべて求め、そのときの $n$ の値をすべて答える。

2. 解き方の手順

$n = \frac{abc+abd+acd+bcd-1}{abcd} = \frac{1}{d} + \frac{1}{c} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a} - \frac{1}{abcd}$

$n$ が整数であるためには、$n \ge 1$ でなければならない。

$a,b,c,d \ge 2$ より、$\frac{1}{d} + \frac{1}{c} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a} \le \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2$。

また、$\frac{1}{abcd} > 0$ であるから、$\frac{1}{d} + \frac{1}{c} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a} > 1$ となる必要がある。

$d \ge 2$ であるから、$1 < \frac{1}{d} + \frac{1}{c} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a} \le \frac{1}{d} + \frac{1}{d} + \frac{1}{d} + \frac{1}{d} = \frac{4}{d}$。

したがって、$1 < \frac{4}{d}$ より、$d < 4$ なので、$d = 2, 3$ を考える。

(i) $d = 3$ のとき、

$n = \frac{abc+3ab+3ac+3bc-1}{3abc} = \frac{1}{3} + \frac{1}{c} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a} - \frac{1}{3abc}$.

$a \ge b \ge c \ge d = 3$ なので、$1 < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{3} \le \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$。

$1 < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{3} \le \frac{4}{3}$ より、$abc$ が小さいほど $n$ は大きくなる。

$a \ge b \ge c \ge 3$ なので、$(a, b, c) = (3, 3, 3)$ のとき、$n = \frac{3\cdot 3\cdot 3 + 3\cdot 3\cdot 3 + 3\cdot 3\cdot 3 + 3\cdot 3\cdot 3 - 1}{3\cdot 3\cdot 3 \cdot 3} = \frac{107}{81} \notin \mathbb{Z}$.

$c=3$ ならば $1 < \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{3} + \frac{1}{3}$.

$n = 1$ ならば $\frac{abc+3ab+3ac+3bc-1}{3abc}=1$ なので $3ab+3ac+3bc-1=2abc$.

これを満たすものは存在しない。

(ii) $d = 2$ のとき、

$n = \frac{abc+2ab+2ac+2bc-1}{2abc} = \frac{1}{2} + \frac{1}{c} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a} - \frac{1}{2abc}$.

$a \ge b \ge c \ge d = 2$ なので、$1 < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{2} \le \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2$。

$abc+2ab+2ac+2bc-1=2nabc$

$a \ge b \ge c \ge 2$

もし $a=b=c=2$ の場合, $\frac{8+8+8+8-1}{16}=\frac{31}{16} \notin Z$

もし $n=1$ とすると, $abc+abd+acd+bcd-1=abcd$ すなわち, $abc+abd+acd+bcd = abcd + 1$

$d=2$ より $abc+2ab+2ac+2bc=2abc+1$

$2ab+2ac+2bc = abc+1$.

$c=2$ より $2ab+4a+4b=2ab+1$. $4a+4b=1$ はありえない。

$2ab+2a(c-b)+2(c-b)b=(c-b)(a+b)+2ab+2ab=abc+1$

$(a,b,c,d)=(3,2,2,2)$ は $12+12+12+8-1=43/24 \not \in Z$.

$c=2 \to 4a+4b=1$ 無理

$b=2 \to abc=3(2*a)$

$(3,3,3,3)$

3. 最終的な答え

存在しない。