不等式 $|x^2 - 7| < -2x + 8$ を解く。

1. 問題の内容

不等式 $|x^2 - 7| < -2x + 8$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、絶対値記号を外すために、不等式を2つの場合に分けます。

場合1: $x^2 - 7 \ge 0$ のとき

このとき、$|x^2 - 7| = x^2 - 7$ なので、不等式は

$x^2 - 7 < -2x + 8$

となります。整理すると

$x^2 + 2x - 15 < 0$

$(x+5)(x-3) < 0$

したがって、$-5 < x < 3$ となります。

ここで、$x^2 - 7 \ge 0$ を満たす必要があります。これは $x^2 \ge 7$ より $x \le -\sqrt{7}$ または $x \ge \sqrt{7}$ です。

$\sqrt{7} \approx 2.65$ なので、この条件と $-5 < x < 3$ を合わせると $-5 < x \le -\sqrt{7}$ または $\sqrt{7} \le x < 3$ となります。

場合2: $x^2 - 7 < 0$ のとき

このとき、$|x^2 - 7| = -(x^2 - 7) = -x^2 + 7$ なので、不等式は

$-x^2 + 7 < -2x + 8$

となります。整理すると

$0 < x^2 - 2x + 1$

$0 < (x-1)^2$

これは $x \ne 1$ であるすべての $x$ で成立します。

ここで、$x^2 - 7 < 0$ を満たす必要があります。これは $x^2 < 7$ より $-\sqrt{7} < x < \sqrt{7}$ です。

$x \ne 1$ であることと合わせると、$-\sqrt{7} < x < 1$ または $1 < x < \sqrt{7}$ となります。

最後に、場合1と場合2の結果を合わせます。

場合1の結果: $-5 < x \le -\sqrt{7}$ または $\sqrt{7} \le x < 3$

場合2の結果: $-\sqrt{7} < x < 1$ または $1 < x < \sqrt{7}$

これらの和集合を取ると、$-5 < x < 1$ または $1 < x < 3$ となります。

これは $x \ne 1$ を除いて $-5 < x < 3$ と表せます。

3. 最終的な答え

$-5 < x < 1, 1 < x < 3$

または

$-5 < x < 3$ ただし $x \ne 1$