3次方程式 $x^3 - 4x^2 + 2x + 4 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$ の値を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 4x^2 + 2x + 4 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係を用いる。

$\alpha + \beta + \gamma = 4$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 2$

$\alpha\beta\gamma = -4$

次に、$\alpha, \beta, \gamma$ がそれぞれ $x^3 - 4x^2 + 2x + 4 = 0$ の解であるから、

$\alpha^3 - 4\alpha^2 + 2\alpha + 4 = 0$

$\beta^3 - 4\beta^2 + 2\beta + 4 = 0$

$\gamma^3 - 4\gamma^2 + 2\gamma + 4 = 0$

これらの3つの式を足し合わせると、

$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 - 4(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) + 2(\alpha + \beta + \gamma) + 12 = 0$

したがって、

$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 4(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - 2(\alpha + \beta + \gamma) - 12$

ここで、$(\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$ より、

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (4)^2 - 2(2) = 16 - 4 = 12$

よって、

$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 4(12) - 2(4) - 12 = 48 - 8 - 12 = 28$

3. 最終的な答え

28