二次方程式 $x^2 - 2ax + a + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$)とするとき、次の問いに答えよ。 (1) $\alpha$, $\beta$ がともに1より大きくなるような $a$ の値の範囲を求めよ。 (2) $1 < \alpha < 2 < \beta < 3$ となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 - 2ax + a + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$)とするとき、次の問いに答えよ。

(1) $\alpha$, $\beta$ がともに1より大きくなるような $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) $1 < \alpha < 2 < \beta < 3$ となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha, \beta$ がともに1より大きくなる条件

$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ とおく。

条件は、

(i) $f(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つ

(ii) 軸 > 1

(iii) $f(1) > 0$

(i) 判別式 $D > 0$

$D = (-2a)^2 - 4(a+2) = 4a^2 - 4a - 8 > 0$

$a^2 - a - 2 > 0$

$(a-2)(a+1) > 0$

$a < -1, 2 < a$

(ii) 軸について

$f(x) = (x-a)^2 - a^2 + a + 2$ より、軸は $x = a$。

したがって、$a > 1$

(iii) $f(1) > 0$

$f(1) = 1 - 2a + a + 2 > 0$

$-a + 3 > 0$

$a < 3$

(i), (ii), (iii) より、

$2 < a < 3$

(2) $1 < \alpha < 2 < \beta < 3$ となる条件

$f(1) > 0$, $f(2) < 0$, $f(3) > 0$ が成り立つ必要がある。

$f(1) = 1 - 2a + a + 2 = 3 - a > 0$ より $a < 3$

$f(2) = 4 - 4a + a + 2 = 6 - 3a < 0$ より $a > 2$

$f(3) = 9 - 6a + a + 2 = 11 - 5a > 0$ より $a < \frac{11}{5} = 2.2$

したがって、$2 < a < \frac{11}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $2 < a < 3$

(2) $2 < a < \frac{11}{5}$