次の定積分を計算してください。 $\int_{-1}^{2} (9x^2 + 8x + 7) dx + \int_{2}^{3} (9x^2 + 8x + 7) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算してください。

$\int_{-1}^{2} (9x^2 + 8x + 7) dx + \int_{2}^{3} (9x^2 + 8x + 7) dx$

2. 解き方の手順

まず、2つの積分を1つにまとめます。積分の性質より、$\int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx$ が成り立ちます。したがって、

$\int_{-1}^{2} (9x^2 + 8x + 7) dx + \int_{2}^{3} (9x^2 + 8x + 7) dx = \int_{-1}^{3} (9x^2 + 8x + 7) dx$

次に、不定積分を計算します。

$\int (9x^2 + 8x + 7) dx = 9 \int x^2 dx + 8 \int x dx + 7 \int 1 dx = 9 \cdot \frac{x^3}{3} + 8 \cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C = 3x^3 + 4x^2 + 7x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

定積分を計算します。

$\int_{-1}^{3} (9x^2 + 8x + 7) dx = [3x^3 + 4x^2 + 7x]_{-1}^{3} = (3(3^3) + 4(3^2) + 7(3)) - (3(-1)^3 + 4(-1)^2 + 7(-1)) = (3(27) + 4(9) + 21) - (3(-1) + 4(1) - 7) = (81 + 36 + 21) - (-3 + 4 - 7) = 138 - (-6) = 138 + 6 = 144$

3. 最終的な答え

144