問題は以下の4つの部分から構成されています。 1. ユークリッドの互除法を用いて $m = 663$ と $n = 2371$ の最大公約数 $\gcd(m, n)$ を求める。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は以下の4つの部分から構成されています。

1. ユークリッドの互除法を用いて $m = 663$ と $n = 2371$ の最大公約数 $\gcd(m, n)$ を求める。

2. 求めた $\gcd(m, n)$ に対して、$ms + nt = \gcd(m, n)$ を満たす整数 $s, t$ を求める。

3. $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ において $23 \div m$ の値を求める。ここで $n = 2371$, $m = 663$ である。

4. 連立合同方程式

\begin{cases}

x \equiv 29 \pmod{m} \\

x \equiv 44 \pmod{n}

\end{cases}

を満たす整数 $x$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、1から順番に解いていきます。

1. ユークリッドの互除法を用いて、m = 663 と n = 2371 の最大公約数 gcd(m, n) を求める。

$2371 = 663 \times 3 + 382$

$663 = 382 \times 1 + 281$

$382 = 281 \times 1 + 101$

$281 = 101 \times 2 + 79$

$101 = 79 \times 1 + 22$

$79 = 22 \times 3 + 13$

$22 = 13 \times 1 + 9$

$13 = 9 \times 1 + 4$

$9 = 4 \times 2 + 1$

$4 = 1 \times 4 + 0$

したがって、$\gcd(663, 2371) = 1$

2. 求めた gcd(m, n) に対して、$ms + nt = \gcd(m, n)$ を満たす整数 s, t を求める。

$\gcd(663, 2371) = 1$ なので、$663s + 2371t = 1$ を満たす $s, t$ を求めます。

互除法の計算を逆にたどります。

$1 = 9 - 4 \times 2$

$1 = 9 - (13 - 9) \times 2 = 9 \times 3 - 13 \times 2$

$1 = (22 - 13) \times 3 - 13 \times 2 = 22 \times 3 - 13 \times 5$

$1 = 22 \times 3 - (79 - 22 \times 3) \times 5 = 22 \times 18 - 79 \times 5$

$1 = (101 - 79) \times 18 - 79 \times 5 = 101 \times 18 - 79 \times 23$

$1 = 101 \times 18 - (281 - 101 \times 2) \times 23 = 101 \times 64 - 281 \times 23$

$1 = (382 - 281) \times 64 - 281 \times 23 = 382 \times 64 - 281 \times 87$

$1 = 382 \times 64 - (663 - 382) \times 87 = 382 \times 151 - 663 \times 87$

$1 = (2371 - 663 \times 3) \times 151 - 663 \times 87 = 2371 \times 151 - 663 \times 453 - 663 \times 87$

$1 = 2371 \times 151 - 663 \times 540$

よって、$s = -540, t = 151$。 ($663(-540) + 2371(151) = 1$ )

3. $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ において $23 \div m$ の値を求める。ここで $n = 2371$, $m = 663$ である。

$23 \div m = 23 \times m^{-1} \pmod{n}$

$m^{-1}$ は $m x \equiv 1 \pmod{n}$ となる $x$

$663x \equiv 1 \pmod{2371}$

上記で$663s + 2371t = 1$ となる$s, t$ が求められている。$s=-540, t=151$

よって$663(-540) + 2371(151) = 1$

$663(-540) \equiv 1 \pmod{2371}$

$-540 \equiv 2371 - 540 \equiv 1831 \pmod{2371}$

よって$m^{-1} \equiv 1831 \pmod{2371}$

$23 \div 663 \equiv 23 \times 1831 \pmod{2371}$

$23 \times 1831 = 42113$

$42113 = 2371 \times 17 + 1866$

したがって、$23 \div 663 \equiv 1866 \pmod{2371}$

4. 連立合同方程式

\begin{cases}

x \equiv 29 \pmod{663} \\

x \equiv 44 \pmod{2371}

\end{cases}

を満たす整数 $x$ を求める。

$x = 663k + 29 \equiv 44 \pmod{2371}$

$663k \equiv 15 \pmod{2371}$

$663k = 2371l + 15$

$663k - 2371l = 15$

$663(-540) + 2371(151) = 1$より、$663(-540 \times 15) + 2371(151 \times 15) = 15$

$k = -540 \times 15 = -8100 \pmod{2371}$

$k = -8100 + 4 \times 2371 = -8100 + 9484 = 1384 \pmod{2371}$

$x = 663k + 29 = 663(1384) + 29 = 917592 + 29 = 917621$

したがって、$x \equiv 917621 \pmod{663 \times 2371}$

$x \equiv 917621 \pmod{1571883}$

$917621$ が条件を満たしているか確認する。

$917621 \div 663 = 1384$ あまり $29$ なので、$x \equiv 29 \pmod{663}$を満たす。

$917621 \div 2371 = 387$ あまり $44$ なので、$x \equiv 44 \pmod{2371}$を満たす。

3. 最終的な答え

1. $\gcd(663, 2371) = 1$

2. $s = -540$, $t = 151$

3. $23 \div 663 \equiv 1866 \pmod{2371}$

4. $x \equiv 917621 \pmod{1571883}$