領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 1, y \geq x, y \leq -x\}$ 上で、二重積分 $\iint_D x^2 y^2 \, dx \, dy$ を計算します。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 1, y \geq x, y \leq -x\}$ 上で、二重積分 $\iint_D x^2 y^2 \, dx \, dy$ を計算します。

2. 解き方の手順

領域 $D$ は、$x^2 + y^2 \leq 1$ で表される円の内部であり、$y \geq x$ および $y \leq -x$ を満たす領域です。これは、第2象限の扇形であり、角度 $\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{4}$ に相当します。したがって、極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用いると、$x^2 + y^2 = r^2$ となり、$0 \leq r \leq 1$、$\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{4}$ となります。また、$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\iint_D x^2 y^2 \, dx \, dy = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \int_0^1 (r\cos\theta)^2 (r\sin\theta)^2 r \, dr \, d\theta$

$= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \int_0^1 r^5 \cos^2\theta \sin^2\theta \, dr \, d\theta$

まず $r$ について積分します。

$\int_0^1 r^5 \, dr = \left[ \frac{r^6}{6} \right]_0^1 = \frac{1}{6}$

次に $\theta$ について積分します。

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cos^2\theta \sin^2\theta \, d\theta = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} (\cos\theta \sin\theta)^2 \, d\theta = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \left( \frac{\sin(2\theta)}{2} \right)^2 \, d\theta$

$= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{\sin^2(2\theta)}{4} \, d\theta = \frac{1}{4} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1 - \cos(4\theta)}{2} \, d\theta$

$= \frac{1}{8} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} (1 - \cos(4\theta)) \, d\theta = \frac{1}{8} \left[ \theta - \frac{\sin(4\theta)}{4} \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}$

$= \frac{1}{8} \left[ \left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\sin(3\pi)}{4}\right) - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\sin(\pi)}{4}\right) \right] = \frac{1}{8} \left[ \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \right] = \frac{1}{8} \cdot \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{16}$

したがって、積分の結果は、

$\iint_D x^2 y^2 \, dx \, dy = \frac{1}{6} \cdot \frac{\pi}{16} = \frac{\pi}{96}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{96}$