次の4つの不定積分を求めます。 (1) $\int x \sin x \, dx$ (2) $\int x \cos 2x \, dx$ (3) $\int xe^x \, dx$ (4) $\int xe^{-x} \, dx$

1. 問題の内容

次の4つの不定積分を求めます。

(1) $\int x \sin x \, dx$

(2) $\int x \cos 2x \, dx$

(3) $\int xe^x \, dx$

(4) $\int xe^{-x} \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int x \sin x \, dx$

部分積分法を用います。$u = x$、$dv = \sin x \, dx$ とすると、$du = dx$、$v = -\cos x$ となります。

$$\int x \sin x \, dx = -x \cos x - \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$$

(2) $\int x \cos 2x \, dx$

部分積分法を用います。$u = x$、$dv = \cos 2x \, dx$ とすると、$du = dx$、$v = \frac{1}{2}\sin 2x$ となります。

$$\int x \cos 2x \, dx = \frac{1}{2}x \sin 2x - \int \frac{1}{2}\sin 2x \, dx = \frac{1}{2}x \sin 2x - \frac{1}{2} \int \sin 2x \, dx = \frac{1}{2}x \sin 2x - \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\cos 2x \right) + C = \frac{1}{2}x \sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C$$

(3) $\int xe^x \, dx$

部分積分法を用います。$u = x$、$dv = e^x \, dx$ とすると、$du = dx$、$v = e^x$ となります。

$$\int xe^x \, dx = xe^x - \int e^x \, dx = xe^x - e^x + C$$

(4) $\int xe^{-x} \, dx$

部分積分法を用います。$u = x$、$dv = e^{-x} \, dx$ とすると、$du = dx$、$v = -e^{-x}$ となります。

$$\int xe^{-x} \, dx = -xe^{-x} - \int (-e^{-x}) \, dx = -xe^{-x} + \int e^{-x} \, dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C$$

3. 最終的な答え

(1) $\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$

(2) $\int x \cos 2x \, dx = \frac{1}{2}x \sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C$

(3) $\int xe^x \, dx = xe^x - e^x + C$

(4) $\int xe^{-x} \, dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C$