与えられた不定積分 $\int \frac{1}{e^x + e^{-x}} dx$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int \frac{1}{e^x + e^{-x}} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数の分母分子に $e^x$ を掛けます。

$\int \frac{1}{e^x + e^{-x}} dx = \int \frac{e^x}{e^{2x} + 1} dx$

ここで、$u = e^x$ と置換すると、$du = e^x dx$ となります。したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{e^x}{e^{2x} + 1} dx = \int \frac{1}{u^2 + 1} du$

$\int \frac{1}{u^2 + 1} du$ は $\arctan(u)$ の積分ですので、

$\int \frac{1}{u^2 + 1} du = \arctan(u) + C$

ここで、$u = e^x$ を代入すると、

$\arctan(e^x) + C$

となります。

3. 最終的な答え

$\arctan(e^x) + C$