関数 $f(x) = (2x - 1)^3$ を、導関数の定義に従って微分する。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (2x - 1)^3$ を、導関数の定義に従って微分する。

2. 解き方の手順

導関数の定義は次の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

この定義に従って、関数 $f(x) = (2x - 1)^3$ の導関数を求めます。

まず、$f(x+h)$ を計算します。

$f(x+h) = (2(x+h) - 1)^3 = (2x + 2h - 1)^3$

次に、$f(x+h) - f(x)$ を計算します。

$f(x+h) - f(x) = (2x + 2h - 1)^3 - (2x - 1)^3$

これを展開します。

$(2x + 2h - 1)^3 = (2x - 1 + 2h)^3$

$= (2x-1)^3 + 3(2x-1)^2(2h) + 3(2x-1)(2h)^2 + (2h)^3$

$= (2x-1)^3 + 6h(2x-1)^2 + 12h^2(2x-1) + 8h^3$

したがって、

$f(x+h) - f(x) = (2x-1)^3 + 6h(2x-1)^2 + 12h^2(2x-1) + 8h^3 - (2x-1)^3$

$= 6h(2x-1)^2 + 12h^2(2x-1) + 8h^3$

次に、$\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ を計算します。

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{6h(2x-1)^2 + 12h^2(2x-1) + 8h^3}{h}$

$= 6(2x-1)^2 + 12h(2x-1) + 8h^2$

最後に、$h \to 0$ の極限を計算します。

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} [6(2x-1)^2 + 12h(2x-1) + 8h^2]$

$= 6(2x-1)^2 + 12(0)(2x-1) + 8(0)^2$

$= 6(2x-1)^2$

$(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$ なので

$6(2x-1)^2 = 6(4x^2 - 4x + 1) = 24x^2 - 24x + 6$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 6(2x-1)^2 = 24x^2 - 24x + 6$