$f(x) = \tan x$ のとき、導関数の定義に従って、$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ を証明する問題です。特に、与えられた式変形の空欄を埋めていく形式になっています。

1. 問題の内容

$f(x) = \tan x$ のとき、導関数の定義に従って、$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ を証明する問題です。特に、与えられた式変形の空欄を埋めていく形式になっています。

2. 解き方の手順

まず、$f'(x)$ の定義式を書きます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$f(x) = \tan x$ を代入すると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\tan(x+h) - \tan x}{h}$

**ア**の空欄は、$\tan(x+h)$ が入ります。

$\lim_{h \to 0} \frac{\tan(x+h) - \tan x}{h}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であることを利用して、式を整理します。

$\tan(x+h) = \frac{\sin(x+h)}{\cos(x+h)}$、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ を代入すると、

$\lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin(x+h)}{\cos(x+h)} - \frac{\sin x}{\cos x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) \cos x - \sin x \cos(x+h)}{h \cos(x+h) \cos x}$

三角関数の加法定理 $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$ より、分子は $\sin((x+h)-x) = \sin h$ となります。

$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h \cos(x+h) \cos x}$

**イ**の空欄は、$\tan(x+h)$が入るので$\frac{\sin(x+h)}{\cos(x+h)}$

**ウ**の空欄は、$\sin h$ が入ります。

$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h \cos(x+h) \cos x}$

$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ より、

$\lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos(x+h) \cos x}$

ここで、$h \to 0$ の極限を取ると、

$\frac{1}{\cos x \cos x} = \frac{1}{\cos^2 x}$

**エ**の空欄は、$1$ が入ります。

$\lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos(x+h) \cos x}$

3. 最終的な答え

ア: $\tan(x+h)$

イ: $\frac{\sin(x+h)}{\cos(x+h)}$

ウ: $\sin h$

エ: $1$