関数 $f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を $x$ のべき乗の形で書き換えます。

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ であり、$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{-\frac{1}{2}}$ であるため、

$f(x) = x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}$ となります。

次に、導関数の公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を用いて各項を微分します。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}}) - \frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{2}})$

$= \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} - (-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1}$

$= \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x\sqrt{x}}$

$= \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$

最後に、共通因子でくくって整理します。

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x}{2x\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$