定積分 $\int_{0}^{4} \frac{x}{9+x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{4} \frac{x}{9+x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を利用します。

$u = 9 + x^2$ とおくと、$du = 2x dx$ となります。したがって、$x dx = \frac{1}{2} du$ です。

積分範囲も変更します。

$x = 0$ のとき、$u = 9 + 0^2 = 9$

$x = 4$ のとき、$u = 9 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

よって、

$\int_{0}^{4} \frac{x}{9+x^2} dx = \int_{9}^{25} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{9}^{25} \frac{1}{u} du$

$\frac{1}{2} \int_{9}^{25} \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} [\ln |u|]_{9}^{25} = \frac{1}{2} (\ln 25 - \ln 9) = \frac{1}{2} \ln \frac{25}{9} = \frac{1}{2} \ln (\frac{5}{3})^2 = \ln \frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

$\ln \frac{5}{3}$