次の定積分の値を求める問題です。 $\int_{2}^{2} (6x^2 - 4x) dx + \int_{1}^{2} (6x^2 - 4x) dx$

1. 問題の内容

次の定積分の値を求める問題です。

$\int_{2}^{2} (6x^2 - 4x) dx + \int_{1}^{2} (6x^2 - 4x) dx$

2. 解き方の手順

まず、一つ目の積分 $\int_{2}^{2} (6x^2 - 4x) dx$ は、積分区間の上端と下端が等しいので、積分の値は0になります。

次に、二つ目の積分 $\int_{1}^{2} (6x^2 - 4x) dx$ を計算します。

まず、被積分関数 $6x^2 - 4x$ の不定積分を求めます。

$\int (6x^2 - 4x) dx = 6 \int x^2 dx - 4 \int x dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 2x^3 - 2x^2 + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

したがって、定積分は次のようになります。

$\int_{1}^{2} (6x^2 - 4x) dx = [2x^3 - 2x^2]_{1}^{2} = (2(2^3) - 2(2^2)) - (2(1^3) - 2(1^2)) = (2(8) - 2(4)) - (2(1) - 2(1)) = (16 - 8) - (2 - 2) = 8 - 0 = 8$

したがって、与えられた定積分の値は、0 + 8 = 8 となります。

3. 最終的な答え

8