二項定理 $(1+h)^n$ の展開について、$nC_0 + nC_1h + nC_2h^2 + nC_3h^3 + ... + nC_nh^n$ が $1 + nh + \frac{1}{2}n(n-1)h^2 + \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3 + ... + h^n$ となる理由を問うています。

1. 問題の内容

二項定理 $(1+h)^n$ の展開について、$nC_0 + nC_1h + nC_2h^2 + nC_3h^3 + ... + nC_nh^n$ が $1 + nh + \frac{1}{2}n(n-1)h^2 + \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3 + ... + h^n$ となる理由を問うています。

2. 解き方の手順

二項定理に基づき、二項係数 ${n \choose k}$ を具体的に計算して展開します。

ステップ1: 二項定理の公式を確認します。

$(1+h)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}h^k = {n \choose 0} + {n \choose 1}h + {n \choose 2}h^2 + {n \choose 3}h^3 + ... + {n \choose n}h^n$

ステップ2: 二項係数 ${n \choose k}$ を計算します。

${n \choose 0} = 1$

${n \choose 1} = n$

${n \choose 2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

${n \choose 3} = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

ステップ3: 計算した二項係数を二項定理の公式に代入します。

$(1+h)^n = 1 + nh + \frac{n(n-1)}{2}h^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}h^3 + ... + h^n$

3. 最終的な答え

二項定理により、$(1+h)^n$ の展開は $1 + nh + \frac{1}{2}n(n-1)h^2 + \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)h^3 + ... + h^n$ となります。

それぞれの項は二項係数 ${n \choose k}$ を計算し、$h^k$ を掛け合わせたものです。