与えられた2つの式を因数分解します。 (1) $x^6 - 1$ (2) $a^6 + 9a^3b^3 + 8b^6$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解します。

(1) $x^6 - 1$

(2) $a^6 + 9a^3b^3 + 8b^6$

2. 解き方の手順

(1) $x^6 - 1$ の因数分解

$x^6 - 1$ は、差の平方の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用して、$(x^3)^2 - 1^2$ と見なすことができます。

$x^6 - 1 = (x^3 + 1)(x^3 - 1)$

さらに、$x^3 + 1$ と $x^3 - 1$ は、和と差の立方体の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ と $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用して因数分解できます。

$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$

$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$

したがって、$x^6 - 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)(x-1)(x^2 + x + 1)$ となります。

整理すると、$x^6 - 1 = (x-1)(x+1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$ となります。

(2) $a^6 + 9a^3b^3 + 8b^6$ の因数分解

$a^6 + 9a^3b^3 + 8b^6$ は、$a^3b^3$ を変数として、二次式の因数分解を適用できます。

$a^6 + 9a^3b^3 + 8b^6 = (a^3)^2 + 9(a^3b^3) + 8(b^3)^2$

$x= a^3$と$y = b^3$とおくと、与えられた式は

$x^2 + 9xy + 8y^2$となります。

これを因数分解すると、

$(x+y)(x+8y) = (a^3 + b^3)(a^3 + 8b^3)$

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

$a^3 + 8b^3 = a^3 + (2b)^3 = (a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$

したがって、$a^6 + 9a^3b^3 + 8b^6 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)(a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

(2) $(a+b)(a^2-ab+b^2)(a+2b)(a^2-2ab+4b^2)$