AとBがゲームを繰り返し行い、先に4勝した方が優勝する。Aが1回のゲームで勝つ確率は $1/3$、Bが勝つ確率は $2/3$ である。 (1) ちょうど6回目のゲームでAが優勝する確率を求める。 (2) Aが優勝する確率を求める。 (3) どちらかが優勝するまでに必要なゲームの回数の期待値を求める。

1. 問題の内容

AとBがゲームを繰り返し行い、先に4勝した方が優勝する。Aが1回のゲームで勝つ確率は $1/3$、Bが勝つ確率は $2/3$ である。

(1) ちょうど6回目のゲームでAが優勝する確率を求める。

(2) Aが優勝する確率を求める。

(3) どちらかが優勝するまでに必要なゲームの回数の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) ちょうど6回目のゲームでAが優勝する場合、5回目までのゲームでAが3勝、Bが2勝している必要がある。5回目までにAが3勝、Bが2勝する確率は、二項分布を用いて計算できる。そして、6回目にAが勝つ確率を掛ける。

5回目までにAが3勝、Bが2勝する確率は、

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{}_5C_3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^2

$$$$

6回目にAが勝つ確率は $1/3$ なので、求める確率は

$$$$

{}_5C_3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \frac{1}{3} = 10 \times \frac{1}{27} \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{40}{729}

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(2) Aが優勝するのは、4回、5回、6回、7回である。それぞれの回数でAが優勝する確率を計算し、それらを足し合わせる。

* 4回でAが優勝する確率: $\left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81}$

* 5回でAが優勝する確率: ${}_4C_3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^1 \times \frac{1}{3} = 4 \times \frac{1}{27} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{8}{243}$

* 6回でAが優勝する確率: (1)より $\frac{40}{729}$

* 7回でAが優勝する確率: ${}_6C_3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \times \frac{1}{3} = 20 \times \frac{1}{27} \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{160}{2187}$

Aが優勝する確率は、

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\frac{1}{81} + \frac{8}{243} + \frac{40}{729} + \frac{160}{2187} = \frac{27+72+120+160}{2187} = \frac{379}{2187}

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(3) 必要なゲーム回数は4,5,6,7回のいずれかである。それぞれの回数でゲームが終わる確率を求め、期待値を計算する。

Aが優勝する確率は $\frac{379}{2187}$ なので、Bが優勝する確率は $1 - \frac{379}{2187} = \frac{1808}{2187}$

* 4回で終わる確率: $\left(\frac{1}{3}\right)^4 + \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{1}{81} + \frac{16}{81} = \frac{17}{81}$

* 5回で終わる確率: ${}_4C_3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right) \times \frac{1}{3} + {}_4C_3 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right) \times \frac{2}{3} = 4 \frac{2}{81} + 4 \frac{8}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{243} + \frac{64}{243} = \frac{72}{243} = \frac{8}{27}$

* 6回で終わる確率: ${}_5C_3 (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^2 \times \frac{1}{3} + {}_5C_3 (\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^2 \times \frac{2}{3} = 10 \frac{4}{243} + 10 \frac{8}{243} \frac{2}{3} = \frac{40}{729} + \frac{160}{729} = \frac{200}{729}$

* 7回で終わる確率: ${}_6C_3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \times \frac{1}{3} + {}_6C_3 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 \times \frac{2}{3} = 20 \frac{8}{729} + 20 \frac{8}{729} \frac{2}{3} = \frac{160}{2187} + \frac{320}{2187} = \frac{480}{2187} = \frac{160}{729}$

期待値は

$4 \times \frac{17}{81} + 5 \times \frac{72}{243} + 6 \times \frac{200}{729} + 7 \times \frac{480}{2187} = \frac{4\times17\times27 + 5\times72\times9+6\times200\times3+7\times480}{2187} = \frac{1836+3240+3600+3360}{2187} = \frac{12036}{2187} = \frac{4012}{729} \approx 5.5$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{40}{729}$

(2) $\frac{379}{2187}$

(3) $\frac{4012}{729}$