与えられた4つの関数について、それぞれのグラフを描く問題です。それぞれの関数は以下の通りです。 (1) $y = \sqrt{2x+1}$ (2) $y = x + \frac{1}{x}$ (ただし、$x \neq 0$) (3) $y = x - \frac{1}{x}$ (ただし、$x \neq 0$) (4) $y = \frac{x}{|x|}$ (ただし、$x \neq 0$)

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、それぞれのグラフを描く問題です。それぞれの関数は以下の通りです。

(1) $y = \sqrt{2x+1}$

(2) $y = x + \frac{1}{x}$ (ただし、$x \neq 0$)

(3) $y = x - \frac{1}{x}$ (ただし、$x \neq 0$)

(4) $y = \frac{x}{|x|}$ (ただし、$x \neq 0$)

2. 解き方の手順

各関数のグラフを描くために、以下の方針で考えます。

(1) $y = \sqrt{2x+1}$

この関数はルート関数です。定義域は$2x+1 \geq 0$、つまり$x \geq -\frac{1}{2}$です。グラフは$y = \sqrt{2x}$を$x$軸方向に$-\frac{1}{2}$だけ平行移動した形になります。

$x = -\frac{1}{2}$のとき、$y = 0$です。

$x = 0$のとき、$y = 1$です。

(2) $y = x + \frac{1}{x}$ (ただし、$x \neq 0$)

この関数は双曲線に似た形になります。$x \neq 0$なので、$y$軸は漸近線です。

$x$が正の大きい値のとき、$y \approx x$となるので、$y = x$も漸近線になります。

$x$が負の大きい値のとき、$y \approx x$となるので、$y = x$も漸近線になります。

増減を調べるために微分します。

$y' = 1 - \frac{1}{x^2}$

$y' = 0$のとき、$x^2 = 1$なので、$x = \pm 1$です。

$x = 1$のとき、$y = 2$で極小値をとります。

$x = -1$のとき、$y = -2$で極大値をとります。

(3) $y = x - \frac{1}{x}$ (ただし、$x \neq 0$)

この関数も双曲線に似た形になります。$x \neq 0$なので、$y$軸は漸近線です。

$x$が正の大きい値のとき、$y \approx x$となるので、$y = x$も漸近線になります。

$x$が負の大きい値のとき、$y \approx x$となるので、$y = x$も漸近線になります。

増減を調べるために微分します。

$y' = 1 + \frac{1}{x^2}$

$y'$は常に正なので、単調増加関数です。

(4) $y = \frac{x}{|x|}$ (ただし、$x \neq 0$)

この関数は$x$の符号によって値が変わります。

$x > 0$のとき、$y = \frac{x}{x} = 1$

$x < 0$のとき、$y = \frac{x}{-x} = -1$

したがって、$x > 0$で$y = 1$、$x < 0$で$y = -1$という定数関数になります。$x = 0$では定義されません。

3. 最終的な答え

それぞれのグラフの概形は以下のようになります。

(1) $y = \sqrt{2x+1}$: $x \geq -\frac{1}{2}$で定義されたルート関数。

(2) $y = x + \frac{1}{x}$: $x = 1$で極小値2、$x = -1$で極大値-2を持つ双曲線。漸近線は$y$軸と$y = x$。

(3) $y = x - \frac{1}{x}$: 単調増加な関数。漸近線は$y$軸と$y = x$。

(4) $y = \frac{x}{|x|}$: $x > 0$で$y = 1$、$x < 0$で$y = -1$となる関数。