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次の定積分を計算します。 $\int_{1}^{3} (3x^2 - 2x) \, dx + \int_{1}^{3} (2x - 3) \, dx$

解析学定積分積分計算積分
2025/4/4

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。
∫13(3x2−2x) dx+∫13(2x−3) dx\int_{1}^{3} (3x^2 - 2x) \, dx + \int_{1}^{3} (2x - 3) \, dx

2. 解き方の手順

まず、積分をまとめます。積分区間が同じなので、被積分関数を足し合わせることができます。
∫13(3x2−2x+2x−3) dx=∫13(3x2−3) dx\int_{1}^{3} (3x^2 - 2x + 2x - 3) \, dx = \int_{1}^{3} (3x^2 - 3) \, dx
次に、不定積分を計算します。
∫(3x2−3) dx=x3−3x+C\int (3x^2 - 3) \, dx = x^3 - 3x + C
最後に、定積分を計算します。
∫13(3x2−3) dx=[x3−3x]13=(33−3⋅3)−(13−3⋅1)=(27−9)−(1−3)=18−(−2)=18+2=20\int_{1}^{3} (3x^2 - 3) \, dx = [x^3 - 3x]_{1}^{3} = (3^3 - 3 \cdot 3) - (1^3 - 3 \cdot 1) = (27 - 9) - (1 - 3) = 18 - (-2) = 18 + 2 = 20

3. 最終的な答え

20

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