定積分 $\int_{1}^{4} (-3x^2 + 2) dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} (-3x^2 + 2) dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。

$\int (-3x^2 + 2) dx = -3 \int x^2 dx + 2 \int dx$

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C_1$

$\int dx = x + C_2$

よって、不定積分は以下のようになります。

$\int (-3x^2 + 2) dx = -3(\frac{x^3}{3}) + 2x + C = -x^3 + 2x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{4} (-3x^2 + 2) dx = [-x^3 + 2x]_{1}^{4} = (-4^3 + 2(4)) - (-1^3 + 2(1))$

$= (-64 + 8) - (-1 + 2) = -56 - 1 = -57$

3. 最終的な答え

-57