次の定積分を計算します。 $\int_{-2}^{0} (9x^2 + 4x + 3) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{-2}^{0} (9x^2 + 4x + 3) dx$

2. 解き方の手順

まず、積分の中の多項式を積分します。

$\int (9x^2 + 4x + 3) dx = 9\int x^2 dx + 4\int x dx + 3\int dx$

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$

$\int x dx = \frac{x^2}{2}$

$\int dx = x$

したがって、不定積分は

$9(\frac{x^3}{3}) + 4(\frac{x^2}{2}) + 3x = 3x^3 + 2x^2 + 3x + C$

次に、定積分を計算します。積分範囲は -2 から 0 です。

$\int_{-2}^{0} (9x^2 + 4x + 3) dx = [3x^3 + 2x^2 + 3x]_{-2}^{0}$

$=[3(0)^3 + 2(0)^2 + 3(0)] - [3(-2)^3 + 2(-2)^2 + 3(-2)]$

$=0 - [3(-8) + 2(4) + (-6)]$

$=0 - [-24 + 8 - 6]$

$=0 - [-22]$

$=22$

3. 最終的な答え

22