関数 $f(x) = e^x$ の導関数 $f'(x)$ を定義に従って求め、$f'(1)$ の値を計算する。ただし、$\lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ を利用してよい。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^x$ の導関数 $f'(x)$ を定義に従って求め、$f'(1)$ の値を計算する。ただし、$\lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ を利用してよい。

2. 解き方の手順

導関数の定義は次の通りです。

$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

与えられた関数 $f(x) = e^x$ を代入すると、

$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}$

指数法則により、$e^{x+h} = e^x \cdot e^h$なので、

$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h}$

$e^x$ で括ると、

$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{e^x (e^h - 1)}{h}$

$e^x$は$h$に依存しないので、極限の外に出すと、

$f'(x) = e^x \lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h}$

問題文で与えられた$\lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ を利用すると、

$f'(x) = e^x \cdot 1 = e^x$

したがって、$f'(x) = e^x$となる。

$f'(1)$を求めると、

$f'(1) = e^1 = e$

3. 最終的な答え

$e$