関数群 $\{1, \cos t, \cos 2t, \cos 3t, \dots \}$ が範囲 $[-\pi, \pi]$ で正規直交関数系をなしているか調べる。

1. 問題の内容

関数群 $\{1, \cos t, \cos 2t, \cos 3t, \dots \}$ が範囲 $[-\pi, \pi]$ で正規直交関数系をなしているか調べる。

2. 解き方の手順

正規直交関数系であるためには、以下の2つの条件を満たす必要があります。

* 直交性：異なる関数同士の内積が0である。

* 正規性：各関数のノルム（絶対値）が1である。

まず、直交性について確認します。

以下の3つの場合に分けて計算します。

(1) $f(t) = 1$ と $g(t) = \cos(nt)$ ( $n$ は自然数) の内積

$\int_{-\pi}^{\pi} 1 \cdot \cos(nt) dt = \left[ \frac{1}{n} \sin(nt) \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{n} (\sin(n\pi) - \sin(-n\pi)) = 0$

(2) $f(t) = \cos(mt)$ と $g(t) = \cos(nt)$ ( $m, n$ は自然数, $m \neq n$) の内積

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mt) \cos(nt) dt = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} [\cos((m+n)t) + \cos((m-n)t)] dt$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin((m+n)t)}{m+n} + \frac{\sin((m-n)t)}{m-n} \right]_{-\pi}^{\pi} = 0$

(3) $f(t) = \cos(nt)$ と $g(t) = \cos(nt)$ ( $n$ は自然数) の内積

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nt) dt = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 + \cos(2nt)}{2} dt = \left[ \frac{t}{2} + \frac{\sin(2nt)}{4n} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi$

次に、正規性について確認します。

(1) $f(t) = 1$ のノルム

$\int_{-\pi}^{\pi} 1^2 dt = \int_{-\pi}^{\pi} 1 dt = [t]_{-\pi}^{\pi} = \pi - (-\pi) = 2\pi$

$\|1\| = \sqrt{\int_{-\pi}^{\pi} 1^2 dt} = \sqrt{2\pi}$

(2) $f(t) = \cos(nt)$ のノルム

$\|\cos(nt)\| = \sqrt{\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nt) dt} = \sqrt{\pi}$

関数群を正規直交関数系にするために、各関数を自身のノルムで割ります。

正規直交関数系：

$\left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\cos t}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos 2t}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos 3t}{\sqrt{\pi}}, \dots \right\}$

元の関数群 $\{1, \cos t, \cos 2t, \cos 3t, \dots\}$ は、正規直交関数系ではありません。

3. 最終的な答え

関数群 $\{1, \cos t, \cos 2t, \cos 3t, \dots\}$ は範囲 $[-\pi, \pi]$ で正規直交関数系ではない。

ただし、$\left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\cos t}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos 2t}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos 3t}{\sqrt{\pi}}, \dots \right\}$ は正規直交関数系である。