数列 $\{a_n\}$ が $a_n = 1 - \frac{1}{2n}$ で与えられている。以下の問いに答える。 (1) $\{a_1, a_2, ...\}$ の上限と下限を求める。 (2) 数列 $\{a_n\}$ が $a$ に収束するときの定義に基づき、$\epsilon = 0.05$ となる適切な $n_0$ の値を求める。 (3) 関数 $y = \arccos(x-3)$ と $y = \arctan(3x)$ の導関数を求める。ただし、$\arccos$ や $\arctan$ を含まない形で答える。 (4) 関数 $y = x^2e^{-x}$ と $y = x\sin(3x)$ の 4 階導関数をライプニッツの公式を用いて求める。 (5) 関数 $f(x) = \log(1-x)$ の $n=3$ におけるマクローリン公式を求める。ただし、剰余項 $R_3(x)$ は省略する。 (6) オイラーの公式を用いて $e^{\frac{\pi}{2}i}$ と $e^{3+\frac{\pi}{6}i}$ を $a+bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$) の形で表す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_n = 1 - \frac{1}{2n}$ で与えられている。以下の問いに答える。

(1) $\{a_1, a_2, ...\}$ の上限と下限を求める。

(2) 数列 $\{a_n\}$ が $a$ に収束するときの定義に基づき、$\epsilon = 0.05$ となる適切な $n_0$ の値を求める。

(3) 関数 $y = \arccos(x-3)$ と $y = \arctan(3x)$ の導関数を求める。ただし、$\arccos$ や $\arctan$ を含まない形で答える。

(4) 関数 $y = x^2e^{-x}$ と $y = x\sin(3x)$ の 4 階導関数をライプニッツの公式を用いて求める。

(5) 関数 $f(x) = \log(1-x)$ の $n=3$ におけるマクローリン公式を求める。ただし、剰余項 $R_3(x)$ は省略する。

(6) オイラーの公式を用いて $e^{\frac{\pi}{2}i}$ と $e^{3+\frac{\pi}{6}i}$ を $a+bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$) の形で表す。

2. 解き方の手順

(1)

数列 $\{a_n\} = \{1 - \frac{1}{2n}\}$ を考える。

$n$ が増加すると $\frac{1}{2n}$ は減少するため、$a_n$ は増加する。

$a_1 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{2n}) = 1$

したがって、下限は $\frac{1}{2}$ で、上限は $1$ である。

(2)

$a_n = 1 - \frac{1}{2n}$ が $1$ に収束することを示す。

$|a_n - 1| < \epsilon$

$|1 - \frac{1}{2n} - 1| < \epsilon$

$|\frac{-1}{2n}| < \epsilon$

$\frac{1}{2n} < \epsilon$

$2n > \frac{1}{\epsilon}$

$n > \frac{1}{2\epsilon}$

$\epsilon = 0.05$ のとき、

$n > \frac{1}{2(0.05)} = \frac{1}{0.1} = 10$

したがって、$n_0 = 10$ とすればよい。

(3)

(1) $y = \arccos(x-3)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\sqrt{1 - (x-3)^2}} = \frac{-1}{\sqrt{1 - (x^2 - 6x + 9)}} = \frac{-1}{\sqrt{-x^2 + 6x - 8}}$

(2) $y = \arctan(3x)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (3x)^2} \cdot 3 = \frac{3}{1 + 9x^2}$

(4)

(1) $y = x^2e^{-x}$

$y^{(4)} = (x^2e^{-x})^{(4)}$

ライプニッツの公式より、

$y^{(4)} = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (x^2)^{(k)} (e^{-x})^{(4-k)}$

$= \binom{4}{0} x^2 (e^{-x})^{(4)} + \binom{4}{1} (2x) (e^{-x})^{(3)} + \binom{4}{2} (2) (e^{-x})^{(2)} + \binom{4}{3} (0) (e^{-x})^{(1)} + \binom{4}{4} (0) (e^{-x})^{(0)}$

$= x^2 e^{-x} + 4 (2x) (-e^{-x}) + 6 (2) (e^{-x}) = x^2e^{-x} - 8xe^{-x} + 12e^{-x} = (x^2 - 8x + 12)e^{-x}$

(2) $y = x\sin(3x)$

$y^{(4)} = (x\sin(3x))^{(4)}$

ライプニッツの公式より、

$y^{(4)} = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (x)^{(k)} (\sin(3x))^{(4-k)}$

$= \binom{4}{0} x (\sin(3x))^{(4)} + \binom{4}{1} (1) (\sin(3x))^{(3)} + \binom{4}{2} (0) (\sin(3x))^{(2)} + \binom{4}{3} (0) (\sin(3x))^{(1)} + \binom{4}{4} (0) (\sin(3x))^{(0)}$

$= x(81\sin(3x)) + 4 (1) (-27\cos(3x)) = 81x\sin(3x) - 108\cos(3x)$

(5)

$f(x) = \log(1-x)$

$f(0) = \log(1) = 0$

$f'(x) = \frac{-1}{1-x}$, $f'(0) = -1$

$f''(x) = \frac{-1}{(1-x)^2}$, $f''(0) = -1$

$f'''(x) = \frac{-2}{(1-x)^3}$, $f'''(0) = -2$

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ...$

$f(x) = 0 - x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{6}x^3 + ... = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + ...$

(6)

(1) $e^{\frac{\pi}{2}i} = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}) = 0 + i(1) = i$

(2) $e^{3+\frac{\pi}{6}i} = e^3 e^{\frac{\pi}{6}i} = e^3 (\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6})) = e^3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \frac{e^3\sqrt{3}}{2} + i\frac{e^3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 上限: 1, 下限: $\frac{1}{2}$

(2) $n_0 = 10$

(3) (1) $\frac{-1}{\sqrt{-x^2 + 6x - 8}}$, (2) $\frac{3}{1 + 9x^2}$

(4) (1) $(x^2 - 8x + 12)e^{-x}$, (2) $81x\sin(3x) - 108\cos(3x)$

(5) $-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + ...$

(6) (1) $i$, (2) $\frac{e^3\sqrt{3}}{2} + i\frac{e^3}{2}$