(1) $\Delta f$ の定義を書き、さらに導関数 $\frac{df}{dx}$ の定義を $\Delta x$ と $\Delta f$ を用いて記述する。 (2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ のとき、$\Delta x$ と $\Delta f$ を使って導関数 $\frac{df}{dx}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $\Delta f$ の定義を書き、さらに導関数 $\frac{df}{dx}$ の定義を $\Delta x$ と $\Delta f$ を用いて記述する。

(2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ のとき、$\Delta x$ と $\Delta f$ を使って導関数 $\frac{df}{dx}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\Delta f$ の定義は、関数 $f(x)$ が $x$ から $x + \Delta x$ へ変化したときの $f(x)$ の変化量である。したがって、

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$

導関数 $\frac{df}{dx}$ の定義は、$\Delta x$ が 0 に近づくときの $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ の極限である。

$\frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$

(2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ のとき、

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

導関数は、

$\frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{x + \Delta x}} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\Delta x}$

$\frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x + \Delta x}}{\Delta x \sqrt{x} \sqrt{x + \Delta x}}$

分子を有理化するために、$\sqrt{x} + \sqrt{x + \Delta x}$ を分子と分母に掛ける。

$\frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + \Delta x})(\sqrt{x} + \sqrt{x + \Delta x})}{\Delta x \sqrt{x} \sqrt{x + \Delta x} (\sqrt{x} + \sqrt{x + \Delta x})}$

$\frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x - (x + \Delta x)}{\Delta x \sqrt{x} \sqrt{x + \Delta x} (\sqrt{x} + \sqrt{x + \Delta x})}$

$\frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\Delta x}{\Delta x \sqrt{x} \sqrt{x + \Delta x} (\sqrt{x} + \sqrt{x + \Delta x})}$

$\frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-1}{\sqrt{x} \sqrt{x + \Delta x} (\sqrt{x} + \sqrt{x + \Delta x})}$

$\Delta x \to 0$ のとき、

$\frac{df}{dx} = \frac{-1}{\sqrt{x} \sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{x})} = \frac{-1}{x (2\sqrt{x})} = \frac{-1}{2x\sqrt{x}} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

3. 最終的な答え

(1)

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$

$\frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$

(2)

$\frac{df}{dx} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$