財布の中に10円玉が3枚、50円玉が6枚、100円玉が3枚入っている。310円の品物を買うとき、おつりがないようなお金の支払い方は全部で何通りあるか。ただし、使わない種類の硬貨があってもよいものとする。

はい、承知いたしました。問題32を解きます。

1. 問題の内容

財布の中に10円玉が3枚、50円玉が6枚、100円玉が3枚入っている。310円の品物を買うとき、おつりがないようなお金の支払い方は全部で何通りあるか。ただし、使わない種類の硬貨があってもよいものとする。

2. 解き方の手順

まず、100円玉、50円玉、10円玉をそれぞれ$x, y, z$枚使うとすると、

$100x + 50y + 10z = 310$

ここで、$x, y, z$はそれぞれ$0 \leq x \leq 3, 0 \leq y \leq 6, 0 \leq z \leq 3$を満たす整数である。

$100x + 50y + 10z = 310$の両辺を10で割ると、

$10x + 5y + z = 31$

$x$について場合分けを行う。

(i) $x=0$のとき、 $5y + z = 31$

$z \leq 3$であるので、$5y \geq 28$となり、$y \geq 5.6$。また、$y \leq 6$なので、$y=6$しかありえない。

このとき、$5 \times 6 + z = 31$より、$z = 1$。

よって、$x=0, y=6, z=1$という組み合わせが1つ。

(ii) $x=1$のとき、$5y + z = 21$

$y$は$0 \leq y \leq 6$を満たすので、$y = 3, z=6$は不可能。

$y=0$のとき、$z = 21$となり不可能。

$y=1$のとき、$z = 16$となり不可能。

$y=2$のとき、$z = 11$となり不可能。

$y=3$のとき、$z = 6$となり不可能。

$y=4$のとき、$z = 1$。

$y=5$のとき、$z = -4$となり不可能。

$y=6$のとき、$z = -9$となり不可能。

よって、$x=1, y=4, z=1$という組み合わせが1つ。

(iii) $x=2$のとき、$5y + z = 11$

$y=0$のとき、$z=11$となり不可能。

$y=1$のとき、$z=6$となり不可能。

$y=2$のとき、$z=1$。

よって、$x=2, y=2, z=1$という組み合わせが1つ。

(iv) $x=3$のとき、$5y + z = 1$

$y=0$のとき、$z=1$。

よって、$x=3, y=0, z=1$という組み合わせが1つ。

したがって、全部で4通りの支払い方がある。

3. 最終的な答え

4通り