曲線 $C: \begin{cases} x = \cos t \\ y = \sin t \end{cases} (0 \le t \le \pi)$ と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $C: \begin{cases} x = \cos t \\ y = \sin t \end{cases} (0 \le t \le \pi)$ と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$の関係を考えます。

$x = \cos t$, $y = \sin t$ より、$x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$ です。

これは半径1の円を表します。

ただし、$0 \le t \le \pi$なので、$y \ge 0$ に注意すると、曲線$C$は、$x$軸より上の半円になります。

求める面積$S$は、積分を用いて計算できます。

$S = \int_{x_1}^{x_2} y dx$

ここで、$x_1$と$x_2$は、$y=0$となる$x$の値です。

$y = \sin t = 0$となるのは、$t = 0$ および $t = \pi$のときです。

$t = 0$のとき、$x = \cos 0 = 1$

$t = \pi$のとき、$x = \cos \pi = -1$

したがって、$x_1 = -1$, $x_2 = 1$となります。

また、$dx = (\cos t)' dt = -\sin t dt$なので、

$S = \int_{t=\pi}^{t=0} \sin t (-\sin t) dt = -\int_{\pi}^{0} \sin^2 t dt = \int_{0}^{\pi} \sin^2 t dt$

半角の公式$\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$を用いると、

$S = \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2t}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2t) dt$

$= \frac{1}{2} [t - \frac{1}{2} \sin 2t]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2} [(\pi - \frac{1}{2} \sin 2\pi) - (0 - \frac{1}{2} \sin 0)] = \frac{1}{2} (\pi - 0 - 0 + 0) = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$