曲線 $y = \sqrt{x}$、直線 $y = 2$、および $y$ 軸で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \sqrt{x}$、直線 $y = 2$、および $y$ 軸で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ を $y$ の関数として表します。$y = \sqrt{x}$ より、$x = y^2$ となります。

回転体の体積 $V$ は、円盤積分を用いて計算できます。$y$ 軸回転なので、$y$ に関して積分します。積分範囲は $y=0$ から $y=2$ までです。

各 $y$ における円盤の半径は $x = y^2$ であり、面積は $\pi x^2 = \pi (y^2)^2 = \pi y^4$ です。

したがって、体積 $V$ は次の積分で与えられます。

$V = \int_0^2 \pi (y^2)^2 dy = \pi \int_0^2 y^4 dy$

この積分を計算します。

$\int_0^2 y^4 dy = \left[ \frac{1}{5} y^5 \right]_0^2 = \frac{1}{5} (2^5 - 0^5) = \frac{1}{5} (32) = \frac{32}{5}$

したがって、$V = \pi \cdot \frac{32}{5} = \frac{32\pi}{5}$ となります。

3. 最終的な答え

$V = \frac{32\pi}{5}$