$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$において、2つの曲線 $y = \sin 2x$ と $y = \cos x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$において、2つの曲線 $y = \sin 2x$ と $y = \cos x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点を求めます。

$\sin 2x = \cos x$

$2 \sin x \cos x = \cos x$

$2 \sin x \cos x - \cos x = 0$

$\cos x (2 \sin x - 1) = 0$

したがって、$\cos x = 0$ または $2 \sin x - 1 = 0$ となります。

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で考えると、

$\cos x = 0$ の解は $x = \frac{\pi}{2}$

$2 \sin x - 1 = 0$ つまり $\sin x = \frac{1}{2}$ の解は $x = \frac{\pi}{6}$

次に、$0 \le x \le \frac{\pi}{6}$ と $\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{2}$ の区間でどちらの関数が大きいかを調べます。

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ であり、$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$ なので、$0 \le x \le \frac{\pi}{6}$の区間では $\cos x \ge \sin 2x$。

$x = \frac{\pi}{3}$ のとき、$\sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$なので、$\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{2}$の区間では $\sin 2x \ge \cos x$。

したがって、求める面積 $S$ は

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (\cos x - \sin 2x) dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin 2x - \cos x) dx$

$= \left[ \sin x + \frac{1}{2} \cos 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} + \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x - \sin x \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \left( \sin \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{3} \right) - \left( \sin 0 + \frac{1}{2} \cos 0 \right) + \left( -\frac{1}{2} \cos \pi - \sin \frac{\pi}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{6} \right)$

$= \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \right) - \left( 0 + \frac{1}{2} \right) + \left( -\frac{1}{2} (-1) - 1 \right) - \left( -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right)$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$

$= \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + 1 - 1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$