問題は、三角関数の値を求める問題です。具体的には、以下の3つのことを求めます。 * $2\cos^2{\frac{\theta}{2}}$ を簡単な形で表す。 * $f(\theta) = 2\cos^2{\frac{\theta}{2}} - 2\sin{\theta}$ において、$f(\frac{\pi}{6})$ の値を求める。 * $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$g(\theta) = \sin{\theta} - \cos{\theta} - 1 = 0$ となる $\theta$ の値の和を求める。

1. 問題の内容

問題は、三角関数の値を求める問題です。具体的には、以下の3つのことを求めます。

* $2\cos^2{\frac{\theta}{2}}$ を簡単な形で表す。

* $f(\theta) = 2\cos^2{\frac{\theta}{2}} - 2\sin{\theta}$ において、$f(\frac{\pi}{6})$ の値を求める。

* $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$g(\theta) = \sin{\theta} - \cos{\theta} - 1 = 0$ となる $\theta$ の値の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) $2\cos^2{\frac{\theta}{2}}$ を簡単な形で表す。

半角の公式 $\cos^2{\frac{\theta}{2}} = \frac{1 + \cos{\theta}}{2}$ を用いる。

$2\cos^2{\frac{\theta}{2}} = 2 \cdot \frac{1 + \cos{\theta}}{2} = 1 + \cos{\theta}$

よって、アの解答は $1 + \cos{\theta}$ で、選択肢の②です。

(2) $f(\frac{\pi}{6})$ の値を求める。

$f(\theta) = 2\cos^2{\frac{\theta}{2}} - 2\sin{\theta}$ に $\theta = \frac{\pi}{6}$ を代入する。

$f(\frac{\pi}{6}) = 1 + \cos{\frac{\pi}{6}} - 2\sin{\frac{\pi}{6}}$

$\cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$、 $\sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}$ であるから、

$f(\frac{\pi}{6}) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、イの解答は $\sqrt{3}$、ウの解答は $2$ です。

(3) $g(\theta) = \sin{\theta} - \cos{\theta} - 1 = 0$ となる $\theta$ の値の和を求める。

$\sin{\theta} - \cos{\theta} = 1$

$\sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{4}) = 1$

$\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

$\theta = \frac{\pi}{2}, \pi$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\theta$ の値の和は $\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$

よって、エの解答は $3$、オの解答は $2$ です。

3. 最終的な答え

ア： $1 + \cos{\theta}$ (選択肢②)

イ： $\sqrt{3}$

ウ： $2$

エ： $3$

オ： $2$