関数 $F(x) = \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} (x - 3t) \cos{t} \, dt$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $F(x) = \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} (x - 3t) \cos{t} \, dt$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$F(x)$ を積分記号の中から $x$ を分離して書き換えます。

$F(x) = \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} (x - 3t) \cos{t} \, dt = x \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} \cos{t} \, dt - 3 \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} t \cos{t} \, dt$

次に、各積分を計算します。

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{x} \cos{t} \, dt = [\sin{t}]_{\frac{\pi}{3}}^{x} = \sin{x} - \sin{\frac{\pi}{3}} = \sin{x} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{x} t \cos{t} \, dt$ は部分積分を用いて計算します。

$u = t$, $dv = \cos{t} \, dt$ とすると、$du = dt$, $v = \sin{t}$ となります。

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{x} t \cos{t} \, dt = [t \sin{t}]_{\frac{\pi}{3}}^{x} - \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} \sin{t} \, dt = x \sin{x} - \frac{\pi}{3} \sin{\frac{\pi}{3}} - [-\cos{t}]_{\frac{\pi}{3}}^{x} = x \sin{x} - \frac{\pi}{3} \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos{x} - \cos{\frac{\pi}{3}} = x \sin{x} - \frac{\pi \sqrt{3}}{6} + \cos{x} - \frac{1}{2}$

したがって、

$F(x) = x (\sin{x} - \frac{\sqrt{3}}{2}) - 3 (x \sin{x} - \frac{\pi \sqrt{3}}{6} + \cos{x} - \frac{1}{2}) = x \sin{x} - \frac{\sqrt{3}}{2} x - 3x \sin{x} + \frac{\pi \sqrt{3}}{2} - 3 \cos{x} + \frac{3}{2} = -2x \sin{x} - \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{\pi \sqrt{3}}{2} - 3 \cos{x} + \frac{3}{2}$

$F(x)$ を $x$ で微分します。

$F'(x) = \frac{d}{dx} (-2x \sin{x} - \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{\pi \sqrt{3}}{2} - 3 \cos{x} + \frac{3}{2})$

$= -2 (\sin{x} + x \cos{x}) - \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \sin{x} = -2 \sin{x} - 2x \cos{x} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \sin{x} = \sin{x} - 2x \cos{x} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$F'(x) = \sin{x} - 2x \cos{x} - \frac{\sqrt{3}}{2}$