定積分 $\int_a^x tf(t)dt = -\frac{1}{x} + 1$ を満たす定数 $a$ の値を求める問題です。ただし、$x > 0$ とします。解析学定積分積分ライプニッツの法則微分2025/7/231. 問題の内容定積分 ∫axtf(t)dt=−1x+1\int_a^x tf(t)dt = -\frac{1}{x} + 1∫axtf(t)dt=−x1+1 を満たす定数 aaa の値を求める問題です。ただし、x>0x > 0x>0 とします。2. 解き方の手順まず、与えられた等式を xxx で微分します。積分の微分に関するライプニッツの法則（積分区間が変数に依存する場合の微分）を用いると、ddx∫axtf(t)dt=xf(x)\frac{d}{dx} \int_a^x tf(t)dt = xf(x)dxd∫axtf(t)dt=xf(x)一方、右辺を微分すると、ddx(−1x+1)=1x2\frac{d}{dx} \left(-\frac{1}{x} + 1\right) = \frac{1}{x^2}dxd(−x1+1)=x21したがって、xf(x)=1x2xf(x) = \frac{1}{x^2}xf(x)=x21これから、f(x)f(x)f(x) を求めます。f(x)=1x3f(x) = \frac{1}{x^3}f(x)=x31次に、∫axtf(t)dt=−1x+1\int_a^x tf(t)dt = -\frac{1}{x} + 1∫axtf(t)dt=−x1+1 に f(t)=1t3f(t) = \frac{1}{t^3}f(t)=t31 を代入します。∫axt⋅1t3dt=∫ax1t2dt=[−1t]ax=−1x+1a\int_a^x t \cdot \frac{1}{t^3} dt = \int_a^x \frac{1}{t^2} dt = \left[ -\frac{1}{t} \right]_a^x = -\frac{1}{x} + \frac{1}{a}∫axt⋅t31dt=∫axt21dt=[−t1]ax=−x1+a1したがって、−1x+1a=−1x+1-\frac{1}{x} + \frac{1}{a} = -\frac{1}{x} + 1−x1+a1=−x1+11a=1\frac{1}{a} = 1a1=1a=1a = 1a=13. 最終的な答えa=1a = 1a=1
