実数 $x$ に対して、$A = x^2 - 2x$ とおくとき、$A$ の最小値と、$y = (x^2 - 2x)^2 + 4(x^2 - 2x)$ の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、$A = x^2 - 2x$ とおくとき、$A$ の最小値と、$y = (x^2 - 2x)^2 + 4(x^2 - 2x)$ の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$A = x^2 - 2x$ の最小値を求めます。

$A$ を平方完成すると、

$$A = x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x - 1)^2 - 1$$

$(x-1)^2$ は常に0以上なので、$A$ の最小値は $x=1$ のとき $-1$ となります。

次に、$y = (x^2 - 2x)^2 + 4(x^2 - 2x)$ の最小値を求めます。

$A = x^2 - 2x$ とおくと、$y = A^2 + 4A$ となります。

$y$ を平方完成すると、

$$y = A^2 + 4A = (A^2 + 4A + 4) - 4 = (A + 2)^2 - 4$$

ここで、$A = (x - 1)^2 - 1$ であり、$A \geq -1$ です。

したがって、$A + 2 \geq 1$ ですから、$(A+2)^2 \geq 1$ となり、$y = (A+2)^2 - 4 \geq 1 - 4 = -3$ となります。

$A = -1$ のとき、$y = (-1+2)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$ となり、最小値をとります。

$A = -1$ となる $x$ は、$x^2 - 2x = -1$ より、$x^2 - 2x + 1 = 0$ つまり $(x-1)^2 = 0$ なので、$x = 1$ です。

3. 最終的な答え

$A$ の最小値は $-1$ です。

$y$ の最小値は $-3$ です。