はい、承知いたしました。画像に写っている3つの問題のうち、どの問題を解きますか？

はい、承知いたしました。画像に写っている3つの問題のうち、どの問題を解きますか？

1. $64x^3 - 125y^3$

2. $9x^2 - 4y^2 + 4y - 1$

3. $x^4 - 7x^2 - 18$

ここでは、すべての問題を解きます。

1. 問題の内容

(2) $64x^3 - 125y^3$ を因数分解します。

(3) $9x^2 - 4y^2 + 4y - 1$ を因数分解します。

(4) $x^4 - 7x^2 - 18$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

(2)

これは、$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ の因数分解公式を利用します。

$64x^3 = (4x)^3$ であり、$125y^3 = (5y)^3$ です。したがって、$a = 4x$、$b = 5y$ となります。

公式に代入すると、

$(4x - 5y)((4x)^2 + (4x)(5y) + (5y)^2) = (4x - 5y)(16x^2 + 20xy + 25y^2)$ となります。

(3)

$9x^2 - 4y^2 + 4y - 1$

$= 9x^2 - (4y^2 - 4y + 1)$

$= (3x)^2 - (2y - 1)^2$

ここで、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の因数分解公式を利用します。$A = 3x$、$B = 2y - 1$ となります。

$(3x + (2y - 1))(3x - (2y - 1)) = (3x + 2y - 1)(3x - 2y + 1)$

(4)

$x^4 - 7x^2 - 18$

$t = x^2$ とおくと、$t^2 - 7t - 18$ となります。

これは、$(t - 9)(t + 2)$ と因数分解できます。

$t$ を $x^2$ に戻すと、$(x^2 - 9)(x^2 + 2)$ となります。

さらに、$x^2 - 9$ は $(x - 3)(x + 3)$ と因数分解できるので、

$(x - 3)(x + 3)(x^2 + 2)$ となります。

3. 最終的な答え

(2) $(4x - 5y)(16x^2 + 20xy + 25y^2)$

(3) $(3x + 2y - 1)(3x - 2y + 1)$

(4) $(x - 3)(x + 3)(x^2 + 2)$