与えられた等式 $\sin 2x = \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}$ が成り立つことを示す問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $\sin 2x = \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}$ が成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

$\sin 2x$ を三角関数の倍角の公式を用いて変形し、右辺の式を $\sin x$ と $\cos x$ で表して変形することで、左辺と右辺が等しいことを示します。

まず、$\sin 2x$ の倍角の公式は以下の通りです。

$$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$

次に、右辺の式を変形します。$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であるから、

$$\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x} = \frac{2\frac{\sin x}{\cos x}}{1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}$$

分母と分子に $\cos^2 x$ を掛けると、

$$\frac{2\frac{\sin x}{\cos x}\cos^2 x}{(1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x})\cos^2 x} = \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x + \sin^2 x}$$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ であるから、

$$\frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x + \sin^2 x} = \frac{2\sin x \cos x}{1} = 2\sin x \cos x$$

したがって、

$$\sin 2x = 2\sin x \cos x = \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}$$

が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\sin 2x = \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}$