与えられた2つの式を因数分解します。 (1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$ (3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解します。

(1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$

(3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$4x^2 - y^2 + 2y - 1$ の $y$ に関する部分を整理します。

$4x^2 - (y^2 - 2y + 1)$ と変形できます。

$(y^2 - 2y + 1)$ は $(y-1)^2$ と因数分解できます。

したがって、与式は $4x^2 - (y-1)^2$ となります。

これは $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形の因数分解を利用できます。

$A = 2x$、$B = (y-1)$ とすると、

$4x^2 - (y-1)^2 = (2x + (y-1))(2x - (y-1)) = (2x + y - 1)(2x - y + 1)$ となります。

(3)

次に、$x^3 + ax^2 - x^2 - a$ を因数分解します。

$x^2$ の項と $a$ の項でそれぞれくくります。

$x^2(x + a) - (x^2 + a)$

ここで、$(x^2+a)$を因数分解で括りだせる形にしたいと考えます。

式を以下のように変形します。

$x^3 + ax^2 - x^2 - a = x^2(x+a) -1(x^2+a)$

$x^2(x+a) - (x^2+a)$

項を組み替えて整理します。

$x^3 - x^2 + ax^2 - a$

$x^2(x-1) + a(x^2-1)$

$x^2(x-1) + a(x-1)(x+1)$

$(x-1)\{x^2 + a(x+1)\}$

$(x-1)(x^2 + ax + a)$

別の解き方：

$x^3 + ax^2 - x^2 - a = x^3 - x^2 + ax^2 - a$

$= x^2(x-1) + a(x^2 - 1)$

$= x^2(x-1) + a(x-1)(x+1)$

$= (x-1)(x^2 + a(x+1))$

$= (x-1)(x^2 + ax + a)$

3. 最終的な答え

(1) $(2x + y - 1)(2x - y + 1)$

(3) $(x-1)(x^2 + ax + a)$